Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 12 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

e
n
k
n
k
k
=+
∞→
)
1
1(lim
.
7. Для любого
k
Ν∈
kkn
n
e
k
=+
∞→
)
1
1(lim
.
8. Последовательность
n
n
n
k
x )1( +=
, , при любом монотонно возрастает и
Ν∈n Ν∈k
k
n
n
ex =
∞→
lim
.
9. Для любого
а
> 1 и любого целого
k
0lim =
∞→
n
k
n
a
n
.
10.
0
!
lim =
∞→
n
a
n
n
Ra ∈∀
11.
0
!
lim =
∞→
n
an
nk
n
∀
, .
Ra ∈ Rk ∈∀
12.
+∞=
∞→
!
2
lim
2
n
n
n
.
13. Если последовательность {
a
n
} неограниченная, то последовательность
∑
=
=
n
k
kn
aS
1
тоже неограниченная.
14. Найти пределы:
1)
∑
=
∞→
+
n
k
n
kk
1
)1(
1
lim
;
2)
∑
=
∞→
+
n
k
n
kk
1
)2(
1
lim
;
3)
∑
=
∞→
+
n
k
n
kk
1
)3(
1
lim
.
§ 6.
Степени и логарифмы
Напомним, что для любого числа и любого число такое, что ,
0≥a
Ν∈n
0≥x
ax
n
=
называется арифметическим корнем n-й степени из а и обозначается
n
a
или
n
a
1
.
Доказывается, что у любого неотрицательного числа существует арифметический
корень n-й степени и притом только один.
Для любого и любого рационального числа , где р целое, а n –
0>a
npr /=
натуральное, число
p
n
a )(
называется степенью числа а с показателем r и обозначается
.
r
a
Для любого и любого , по определению,
0>a Rx ∈
n
x
n
x
aa
)(
lim
∞→
=
Пусть и . Тогда для любого число с такое, что , называется
0>b 1≠b 0>a
ab
c
=
логарифмом числа а по основанию b и обозначается . Так что, по определению,
a
b
log
ab
a
b
=
log
. 
                                                     1 nk
                                           lim(1 +      ) = e.
                                           k →∞      nk
7. Для любого k ∈ Ν
                                                  1
                                           lim(1 + ) kn = e k .
                                           n →∞   k
                               k
8. Последовательность xn = (1 + ) n , n ∈ Ν , при любом k ∈ Ν монотонно возрастает и
                               n
    lim xn = e .
              k
       n →∞

9. Для любого а > 1 и любого целого k
                                                   nk
                                              lim n = 0 .
                                              n →∞ a

         an
10. lim       = 0 ∀a ∈ R
    n →∞ n!

         nk an
11. lim         = 0 ∀a ∈ R , ∀k ∈ R .
    n →∞ n!
            2
         2n
12. lim       = +∞ .
    n →∞ n!

13. Если последовательность               {an}       неограниченная,   то   последовательность
               n
       S n = ∑ ak тоже неограниченная.
              k =1
14. Найти пределы:
            n
                     1
   1) lim ∑                ;
           k =1 k ( k + 1)
      n →∞

            n
                     1
   2) lim ∑                 ;
           k =1 k ( k + 2)
      n →∞

            n
                     1
   3) lim ∑                .
           k =1 k ( k + 3)
      n →∞



                                              § 6.
                                      Степени и логарифмы

       Напомним, что для любого числа a ≥ 0 и любого n ∈ Ν число x ≥ 0 такое, что x n = a ,
                                                                                            1
                                                                                  n
называется арифметическим корнем n-й степени из а и обозначается a или a .                  n

Доказывается, что у любого неотрицательного числа существует арифметический
корень n-й степени и притом только один.
   Для любого a > 0 и любого рационального числа r = p / n , где р целое, а n –
натуральное, число (n a ) p называется степенью числа а с показателем r и обозначается
ar .
       Для любого a > 0 и любого x ∈ R , по определению,
                                            a x = lim a ( x )n
                                                      n →∞

   Пусть b > 0 и b ≠ 1 . Тогда для любого a > 0 число с такое, что b c = a , называется
логарифмом числа а по основанию b и обозначается log b a . Так что, по определению,
b log b a = a .

Страницы