Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

22. Для любого
Ν∈n
nnn
11
1ln
1
1
<
+<
+
.
23.
1lim =
∞→
n
n
n
.
24. Если
a
, то последовательность
1>
∑
=
=
n
k
n
n
x
1
1
α
сходится, а если , то расходится.
1≤a
§ 7.
Принцип вложенных отрезков, теорема
Больцано–Вейерштрасса и критерий Коши
Последовательность промежутков , , называется последовательностью
n
∆ Ν∈n
вложенных промежутков, если .
nn
∆⊂∆
+1
n∀
Принцип вложенных отрезков.
У любой последовательности вложенных
отрезков действительной прямой существует хотя бы одна общая точка.
1. По аналогии с действительной прямой множество
Q
всех рациональных чисел
называется рациональной прямой. Справедлив ли принцип вложенных отрезков для
рациональной прямой?
2. Справедливо ли утверждение: у любой последовательности вложенных интервалов
действительной прямой существует хотя бы одна общая точка?
3. Доказать, что для любой последовательности вложенных отрезков множество
n
∆
I
∞
=
∆
1n
n
является отрезком.
4. Привести пример последовательности вложенных интервалов, имеющих одну
общую точку.
Теорема Больцано–Вейерштрасса
. У любой ограниченной последовательности
действительных чисел существует сходящаяся подпоследовательность.
Предел любой подпоследовательности данной последовательности называется ее
частичным пределом. Наибольший (наименьший) из частичных пределов
последовательности {x
n
} называется верхним (нижним) пределом последовательности
{x
n
} и обозначается
n
n
x
∞→
lim
(соответственно
n
n
x
∞→
lim
).
Доказать следующие утверждения.
5. Если {у
n
} – последовательность частичных пределов последовательности {x
n
}, и
0
lim yy
n
n
=
∞→
, то у
0
– тоже частичный предел последовательности {х
n
}.
6. Ограниченная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она имеет
единственный частичный предел.
7. Если последовательности {x
n
} и {у
n
} ограничены сверху, то
n
n
n
n
nn
n
yxyx
∞→∞→∞→
+≤+ limlim)(lim
.
8. Если последовательности {x
n
} и {у
n
} ограничены снизу, то
n
n
n
n
nn
n
yxyx
∞→∞→∞→
+≥+ limlim)(lim
.
9. Если последовательности {x
n
} и {у
n
} ограничены, то
)(limlimlim
nn
n
n
n
n
n
yxyx +≤+
∞→∞→
∞→
.
10. Для того чтобы последовательность {х
n
} была бесконечно малой, необходимо и
достаточно, чтобы 
22. Для любого n ∈ Ν
                                             1       1 1
                                                < ln1 +  < .
                                           n +1      n n
23. lim n n = 1 .
    n →∞
                                                    n
                                                          1
24. Если a > 1 , то последовательность xn = ∑              α
                                                             сходится, а если a ≤ 1 , то расходится.
                                                    k =1 n



                                          § 7.
                           Принцип вложенных отрезков, теорема
                         Больцано–Вейерштрасса и критерий Коши

   Последовательность промежутков ∆ n , n ∈ Ν , называется последовательностью
вложенных промежутков, если ∆ n+1 ⊂ ∆ n ∀n .
   Принцип вложенных отрезков. У любой последовательности вложенных
отрезков действительной прямой существует хотя бы одна общая точка.
1. По аналогии с действительной прямой множество Q всех рациональных чисел
   называется рациональной прямой. Справедлив ли принцип вложенных отрезков для
   рациональной прямой?
2. Справедливо ли утверждение: у любой последовательности вложенных интервалов
   действительной прямой существует хотя бы одна общая точка?
3. Доказать, что для любой последовательности вложенных отрезков ∆ n множество
     ∞

    I∆     n   является отрезком.
    n =1
4. Привести пример последовательности вложенных интервалов, имеющих одну
   общую точку.
   Теорема Больцано–Вейерштрасса. У любой ограниченной последовательности
действительных чисел существует сходящаяся подпоследовательность.
   Предел любой подпоследовательности данной последовательности называется ее
частичным пределом. Наибольший (наименьший) из частичных пределов
последовательности {xn} называется верхним (нижним) пределом последовательности
{xn} и обозначается limxn (соответственно lim xn ).
                         n →∞                       n →∞

   Доказать следующие утверждения.
5. Если {уn} – последовательность частичных пределов последовательности {xn}, и
   lim y n = y0 , то у0 – тоже частичный предел последовательности {хn}.
    n →∞

6. Ограниченная последовательность сходится тогда и только тогда, когда она имеет
    единственный частичный предел.
7. Если последовательности {xn} и {уn} ограничены сверху, то
                              lim( xn + y n ) ≤ limxn + lim y n .
                                    n →∞                n →∞      n→∞

8. Если последовательности {xn} и {уn} ограничены снизу, то
                              lim( xn + y n ) ≥ lim xn + lim y n .
                                    n →∞                n→∞       n →∞
9. Если последовательности {xn} и {уn} ограничены, то
                              lim xn + lim y n ≤ lim( xn + y n ) .
                                    n →∞      n→∞          n →∞

10. Для того чтобы последовательность {хn} была бесконечно малой, необходимо и
   достаточно, чтобы

Страницы