Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Доказать следующие утверждения.
1. Уравнение при любом
a
имеет точно два решения.
ax =
2
0>
2. Уравнение при любом в множестве действительных чисел имеет только
ax =
3
Ra ∈
одно решение.
3. Если и , то
npr /
= 0>a
r
n
p
aa
=
.
4. Для любого
0>a
1=
∞→
n
alim
n
.
5. Для любого и любого
0>a Rx ∈
x
x
n
aa
n
=
∞→
)(
lim
.
6. Степень
2
2
существует.
7. Логарифм
log
существует.
3
2
8. Если , то
+∞=
∞→
n
n
xlim e
x
n
x
n
n
=+
∞→
)
1
1(lim
.
9. Если , причем и , то
0
lim xx
n
n
=
∞→
0
0
>x 0>
n
x
n∀
αα
0
lim xx
n
n
=
∞→
∀
.
R∈
α
10.
0)
1
1ln(lim =+
∞→
n
n
.
11.
α
α
e
n
n
n
=+
∞→
)1(lim
.
R∈∀
α
12.
0
1
lim =
∞→
α
n
n
.
0>∀
α
13. Если
lim
, то
0
xx
n
n
=
∞→
0
lim
xx
n
aa
n
=
∞→
.
0>∀a
14. Если
lim
, причем и
∀
, то
0
xx
n
n
=
∞→
0
0
>x 0>
n
x
n
0
lnlnlim xx
n
n
=
∞→
.
15. .
+∞=
∞→
n
a
n
loglim
1>∀a
16.
0
log
lim =
∞→
n
n
a
n
, .
0>∀a 1≠a
17.
0
log
lim =
∞→
α
n
n
a
n
.
1>∀a 0>∀
α
18. Если последовательность , , сходится, то . Справедливо ли
∑
=
=
n
k
kn
aS
1
Ν∈n 0lim =
∞→
n
n
a
обратное утверждение?
19. Если
a
∀
и
lim
, то
0>
n
Ν∈n aa
n
n
=
∞→
aaaa
n
n
n
=
∞→
...lim
21
.
20. Если
a
∀
и
0>
n
Ν∈n a
a
a
n
n
n
=
+
∞→
1
lim
, то
aa
n
n
n
=
∞→
lim
.
21. Для любого
Ν∈n
nn
n
en
e
n
<<
2
!
. 
    Доказать следующие утверждения.
1. Уравнение x 2 = a при любом a > 0 имеет точно два решения.
2. Уравнение x 3 = a при любом a ∈ R в множестве действительных чисел имеет только
    одно решение.
3. Если r = p / n и a > 0 , то    n
                                       a p = ar .
4. Для любого a > 0 lim n a = 1 .
                         n →∞

5. Для любого a > 0 и любого x ∈ R
                                                       lim a ( x )n = a x .
                                                       n →∞
                   2
6. Степень 2 существует.
7. Логарифм log 2 3 существует.
                                1
8. Если lim xn = +∞ , то lim(1 + ) xn = e .
        n →∞             n →∞   xn
9. Если lim xn = x0 , причем x0 > 0 и xn > 0 ∀n , то
           n →∞

                                               lim xnα = x0α ∀α ∈ R .
                                               n →∞

              1
10. lim ln(1 + ) = 0 .
    n →∞      n
             α
11. lim(1 + ) n = eα ∀α ∈ R .
    n →∞    n
          1
12. lim α = 0 ∀α > 0 .
    n →∞ n

13. Если lim xn = x0 , то
            n →∞

                                               lim a xn = a x0 ∀a > 0 .
                                               n →∞

14. Если lim xn = x0 , причем x0 > 0 и xn > 0 ∀n , то
            n →∞

                                                      lim ln xn = ln x0 .
                                                      n →∞

15. lim log a n = +∞ ∀a > 1 .
    n →∞

         log a n
16. lim          = 0 ∀a > 0 , a ≠ 1 .
    n →∞    n
         log n
17. lim αa = 0 ∀a > 1 ∀α > 0 .
    n →∞   n
                                                n
18. Если последовательность S n = ∑ ak , n ∈ Ν , сходится, то lim a n = 0 . Справедливо ли
                                                                                  n →∞
                                               k =1
    обратное утверждение?
19. Если an > 0 ∀n ∈ Ν и lim an = a , то
                                n →∞

                                                 lim n a1 a2 ...a n = a .
                                                 n →∞

                                       an +1
20. Если an > 0 ∀n ∈ Ν и lim                 = a , то
                                n →∞    an
                                                       lim n an = a .
                                                        n →∞

21. Для любого n ∈ Ν
                                                         n                    n
                                                 n        n
                                                   < n!< e  .
                                                 e        2

Страницы