Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 15 стр.

                                          lim | xn |= 0 .
                                          n →∞

11. Найти все частичные пределы последовательности
                                       (−1) n n
                                  xn =          , n∈Ν .
                                        2n + 1
12. Указать последовательность, для которой каждое натуральное число является
    частичным пределом.
13. Построить последовательность, для которой каждое x ∈ [0;1] является частичным
    пределом.
    Последовательность {хn} называется фундаментальной или сходящейся в себе, если
она удовлетворяет условию Коши, т.е. если
                      ∀ε > 0 ∃Ν ε : ∀n ≥ Ν ε , ∀m ≥ Ν ε | xn − xm |< ε .
    Критерий Коши. Для того чтобы последовательность действительных чисел
сходилась, необходимо и достаточно, чтобы она была фундаментальной.

    Доказать следующие утверждения.
14. Последовательность {хn} действительных чисел сходится тогда и только тогда,
    когда
                            ∀ε > 0 ∃N : ∀n > N | xn − x N |< ε .
15. Если последовательность {аk} ограничена и |q|< 1, то последовательность
         n
   xn = ∑ ak q k , n ∈ Ν , сходится.
        k =1

                               1        1
16. Последовательность xn = 1 +  + ... + , n ∈ Ν , расходится, причем lim xn = +∞ .
                               2        n                             n →∞
                                      2        n
                               x x           x
17. Последовательность xn = 1 + + + ... +        , сходится при любом x ∈ R .
                               1! 2!         n!

                                         § 8.
                            Множества точек числовой прямой

   Множество X ∈ R называется ограниченным сверху (снизу), если
                         ∃b : ∀x ∈ X x ≤ b (соответственно x ≥ b ).
   Любое такое число b называется верхней (нижней) гранью множества X.
   Наименьшую из верхних граней множества X обычно называют точной верхней
гранью множества X и обозначают sup X, а наибольшую из нижних граней называют
его точной нижней гранью и обозначают inf X.
   Если множество X является неограниченным сверху (снизу), то, по определению,
sup X = +∞ (соответственно inf X = −∞ ).

    Доказать следующие утверждения.
1. У любого непустого множества действительных чисел, ограниченного сверху
    (снизу), в множестве R существует точная верхняя (нижняя) грань. Указать
    ограниченное множество рациональных чисел, у которого в множестве Q нет
    точной верхней (нижней) грани.
2. Если М – множество всех частичных пределов последовательности {хn}, то
                             lim xn = sup M lim xn = inf M .
                                   n →∞           n →∞

3. Для любой последовательности {хn} последовательность a n = inf xk , n ∈ Ν , имеет
                                                                        k ≥n

   предел и