Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 17 стр.

14. Если множество G ⊂ R замкнуто и ограничено, то среди его элементов есть как
    наименьший, так и наибольший.
15. Если множество G ⊂ R открыто, то среди его элементов нет ни наименьшего, ни
    наибольшего.
16. Граница любого множества G ⊂ R является замкнутым множеством.
17. Для любого G ⊂ R G = G ∪ ∂G .
18. Замыкание любого множества есть замкнутое множество.
19. Объединение любого семейства открытых множеств открыто.
20. Пересечение любого конечного числа открытых множеств открыто. Справедливо
    ли это утверждение для счетного семейства множеств?
21. Множество G ⊂ R открыто тогда и только тогда, когда множество R\G замкнуто.
22. Для любых множеств A ⊂ R и B ⊂ R
                               R \ ( A ∪ B) = ( R \ A) ∩ ( R \ B) ,
                               R \ ( A ∩ B) = ( R \ A) ∪ ( R \ B) .
23. Объединение любого конечного числа замкнутых множеств замкнуто. Справедливо
    ли это утверждение для счетного семейства множеств?
24. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнуто.
25. Может ли множество G ⊂ R , все точки которого изолированные, иметь предельные
    точки?
26. Является ли замкнутым или открытым множество всех рациональных точек
    отрезка [0;1]?
27. Привести пример множества G ⊂ R , которое одновременно и открытое, и
    замкнутое.
    Как известно, для любого отрезка [а;b] число b–а называется его длиной, ту же
длину имеет и любой из промежутков [а;b), (а;b], (а;b). Обобщением этого понятия на
более широкий класс множеств G ⊂ R является мера множества, которую для G будем
обозначать mG .
    Любой конечный промежуток ∆ = (a; b] и любое множество S, являющееся
объединением конечного числа попарно непересекающихся промежутков ∆1 ,..., ∆ N
такого вида, называются элементарными множествами. По определению положим
                                                 N
                               m∆ = b − a , mS = ∑ m∆ j .
                                                 j =1

Пустое множество тоже считается элементарным, причем m∅ = 0 .
  Для любого ограниченного множества G ⊂ R рассмотрим числа
                             m = sup ms , m = inf mS ,
                                    s⊂G         S ⊃G

где sup берется по всем элементарным множествам s ⊂ R , а inf – по всем
элементарным множествам S ⊃ R .
   Если mG = GG , то это число называется мерой Жордана множества G и
обозначается mG, а множество G называется измеримым по Жордану.

    Доказать следующие утверждения.
28. Определение меры элементарного множества S не зависит от разбиения S на
    промежутки вида (а;b].
29. Если множества s и S элементарные, то множества                s ∪ S и s ∩ S тоже
    элементарные и
                                m( s ∪ S ) + ( s ∩ S ) = ms + mS .
  Если, кроме того, s и S не пересекаются, то
                                     m( s ∪ S ) = ms + mS .
30. Если множества s и S элементарные и s ⊂ S , то