Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 19 стр.

   3) y = − ( x − 1) 2 ;
               1
   4) y =             ;
             x2 −1
               1
   5) y =             ;
           3
             x2 −1
                  1
   6) y =                 ;
             − ( x − 1) 2
   7) y = x − 1, x ∈ [−1;1] ;
   8) y =| x − 1 |, x ∈ (0;1) ;
   9) y = x 2 , x ∈ R ;
              x2
   10) y =        ,x∈R .
            1+ x2
2. Пусть А и В произвольные множества из области определения функции f. Доказать,
   что
                      f ( A ∪ B) = f ( A) ∪ f ( B) , f ( A ∩ B) ⊂ f ( A) ∩ f ( B) .
   Можно ли здесь знак включения заменить на знак равенства?
   Функция f, определенная на множестве X , называется монотонно
возрастающей (убывающей) на X, если для любых х1 и x2 из X таких, что x1 < x2,
выполняется неравенство f ( x1 ) ≤ f ( x2 ) (соответственно f ( x1 ) ≥ f ( x2 ) ). Если же
выполняются строгие неравенства, то функция f называется строго возрастающей
(убывающей) на X .
   Функция f, определенная на множестве X, называется ограниченной сверху
(снизу) на X, если множество f(X) ограничено сверху (снизу). Если же f(X)
ограничено, то и f называется ограниченной на X.
3. Используя символы ∃ и ∀ , сформулировать определения того, что функция у = f(х),
    x ∈ X , является ограниченной сверху, неограниченной сверху, ограниченной снизу,
   неограниченной снизу, ограниченной, неограниченной.

    Доказать следующие утверждения.
4. Функция у = f(х), x ∈ X , ограничена на X тогда и только тогда, когда
                                    ∃M : ∀x ∈ X | f ( x) |≤ M .
5. Сумма, разность и произведение ограниченных функций – ограниченная функция.
    Что можно утверждать об их отношении?
6. Квадратичная функция y = ax 2 + bx + c при а > 0 строго возрастает на промежутке
     b                                                     b 
    − 2a ;+∞  и строго убывает на промежутке  − ∞;− 2a  а при а < 0 строго возрастает
                 b                      b       
    на  − ∞;−  и строго убывает на − ;+∞  .
               2a                       2a      
7. Строго монотонная функция у = f(х), x ∈ X , взаимно однозначно отображает
    множество X на множество f(X). Принести пример функции f, определенной на
    некотором промежутке ∆ которая не является на ∆ строго монотонной, но которая
    взаимно однозначно отображает ∆ на f( ∆ ).

    Функция у = f(х), x ∈ X , называется обратимой на множестве X, если для любого
y ∈ f (X ) уравнение f(x) = у имеет единственное решение x = ϕ ( y ) . Тогда функция
ϕ ( y ) , y ∈ f (X ) , называется обратной к функции f и обозначается f −1 .