Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

Для каждого число называется косинусом а и обозначается cos a, а число
R∈
α
α
x
у
а
– синусом а и обозначается sin а. Если , то число
0cos ≠a
a
a
cos
sin
называется
тангенсом а и обозначается tg a. Если же . то число
0sin ≠a
a
a
sin
cos
называется
котангенсом а и обозначается ctg a.
15. Что называется длиной дуги окружности? Доказать, что любая дуга окружности
имеет конечную длину.
16. Доказать, что длина дуги окружности обладает свойством аддитивности, т.е. если
АВ – дуга окружности, и
(
, то
(
((
, где
(
и т.д. – длины
BAM ∈ |||||| BMMABA += || BA
соответствующих дуг.
17. Что называется числом ? Доказать, что
3
.
π
4<<
π
18. Доказать, что
||
.
||sin aa
≤ Ra ∈∀
19. Доказать, что tg a
≥
|a|
−∈∀
2
;
2
ππ
a
.
20. Доказать, что если
2
||
π
<< a0
, то
1
sin
cos ≤≤
a
a
a
.
Функции, заданные формулами у=sinx, у=cosx, у=tgx, и у=ctgx, называются
тригонометрическими функциями, соответственно синусом, косинусом, тангенсом и
котангенсом. Функции, обратные к функциям
y=sinx,
−∈
2
;
2
ππ
x
;
y=cosx, ;
[]
π
;0∈x
y=tgx,
−∈
2
;
2
ππ
x
;
y=ctgx, ,
()
π
;0∈x
называются обратными тригонометрическими функциями и обозначаются
соответственно arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.
Доказать следующие утверждения.
21. Функция у=sinxобратима на отрезке
−
2
;
2
ππ
.
22. Функция у=cosx обратима на отрезке
[]
.
π
;0
23. Функция у=tgx обратима на интервале
−
2
;
2
ππ
.
24. Функция у=ctgx обратима на интервале .
()
π
;0
25. Последовательность
4
sin
π
n
x
n
=
, , расходится.
Ν∈n
26. Последовательность
n
n
x
n
sin
=
, , бесконечно малая.
Ν∈n
27. Последовательность
∑
=
=
n
k
k
n
kx
x
1
2
sin
, , сходится при любом .
Ν∈n
Rx ∈
   Для каждого α ∈ R число xα называется косинусом а и обозначается cos a, а число
                                                                 sin a
уа – синусом а и обозначается sin а. Если cos a ≠ 0 , то число         называется
                                                                cos a
                                                                cos a
тангенсом а и обозначается tg a. Если же sin a ≠ 0 . то число          называется
                                                                sin a
котангенсом а и обозначается ctg a.

15. Что называется длиной дуги окружности? Доказать, что любая дуга окружности
    имеет конечную длину.
16. Доказать, что длина дуги окружности обладает свойством аддитивности, т.е. если
                                           ( (    (       (            (
    АВ – дуга окружности, и M ∈ AB , то | AB |=| AM | + | MB | , где | AB | и т.д. – длины
    соответствующих дуг.
17. Что называется числом π ? Доказать, что 3 < π < 4 .
18. Доказать, что | sin a |≤| a | ∀a ∈ R .
                                   π π
19. Доказать, что tg a ≥ |a| ∀a ∈  − ;  .
                                   2 2
                                   π
20. Доказать, что если 0 <| a |<     , то
                                   2
                                                      sin a
                                            cos a ≤         ≤ 1.
                                                        a

   Функции, заданные формулами у=sinx, у=cosx, у=tgx, и у=ctgx, называются
тригонометрическими функциями, соответственно синусом, косинусом, тангенсом и
котангенсом. Функции, обратные к функциям
                                            π π
                               y=sinx, x ∈ − ;  ;
                                            2 2
                                 y=cosx, x ∈ [0;π ] ;
                                                 π π
                                     y=tgx, x ∈  − ;  ;
                                                 2 2
                                      y=ctgx, x ∈ (0;π ) ,
называются    обратными       тригонометрическими          функциями   и   обозначаются
соответственно arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x.

    Доказать следующие утверждения.
                                       π π
21. Функция у=sinxобратима на отрезке − ;  .
                                       2 2
22. Функция у=cosx обратима на отрезке [0;π ] .
                                               π π
23. Функция у=tgx обратима на интервале  − ;  .
                                               2 2
24. Функция у=ctgx обратима на интервале (0;π ) .
                                 nπ
25. Последовательность xn = sin      , n ∈ Ν , расходится.
                                  4
                            sin n
26. Последовательность xn =        , n ∈ Ν , бесконечно малая.
                                n
                             n
                                sin kx
27. Последовательность xn = ∑ k , n ∈ Ν , сходится при любом x ∈ R .
                            k =1 2

Страницы