Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 23 стр.

12 lim x a = 0 ∀a > 0 .
   x → +0

13. lim x a = +∞ ∀a > 0 .
    x → +∞

14. Пусть функция f определена на множестве А, и пусть x0 ∈ R – предельная точка как
    для X ∩ (− ∞; x0 ) , так и для X ∩ ( x0 ;+∞ ) . Функция f имеет предел в точке X0 тогда и
    только тогда, когда у нее пределы в точке слева и справа существуют и равны.

                                           § 3.
                                   Непрерывные функции

    Точки любого множества X ∈ R делятся на предельные и изолированные. Функция
f(х), x ∈ X , называется непрерывной в предельной точке x0 ∈ X , если lim = f ( x0 ) любой
                                                                           x → x0

изолированной точке x0 ∈ X функция f, по определению, считается непрерывной.
   Заметим, что если функция f определена, например, на отрезке [a;b] то можно
говорить о непрерывности не только во внутренних точках отрезка, но и в его концевых
точках.
   Бели функция f непрерывна в точке x0 ∈ D f , то X0 называется точкой
непрерывности функции f. В противном случае точка            X0   называется точкой разрыва
функции f.

    Доказать следующие утверждения.
1. Функция f, определенная в некоторой окрестности точки X0, является непрерывной
    в точке X0 тогда и только тогда, когда
                           ∀O( y0 )∃O( x0 ) : f (O( x0 )) ⊂ O( y0 ) , (1)
    где у0 = f(x0).
2. Условие (1) равносильно условию
                            ∀ε > 0 ∃δ > 0 : f (Oδ ( x0 )) ⊂ Oε ( y0 ) .
                   а
3. Функция у = х при любом a ∈ R непрерывна в любой точке X0 > 0.
4. Если функция непрерывна в точке, то она ограничена в некоторой окрестности этой
    точки.
5. Функция Дирихле

          1 ,   если х рационально,
  f (x) = 
          0,    если х иррационально,

    разрывна в каждой точке.
6. Если функция f(x) непрерывна на промежутке ∆ , то функция f+(x) = max{f(x);0} тоже
    непрерывна на ∆ .
7. Если функции f и g, определенные на интервале ∆ , непрерывны в точке x0 ∈ ∆ , то
    функции
                      М(х) = max{f(х),g(х)} и m(х) = min{f(x),g(x)}
    тоже непрерывны в точке x0.
8. Функция Римана

            0,      если х иррационально,
    f (x) =                                    p
                     если х рационально и x =
            1/ q,                              q
                                                  ,