Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 24 стр.

    где p/q – несократимая дробь, является непрерывной в любой иррациональной
    точке и разрывна в любой рациональной точке.
9. Если функция у = f(х), x ∈ R , непрерывна на R, то функция у = |f(х)| тоже непрерывна
    на R Справедливо ли обратное утверждение?
10. Если функция f, определенная на промежутке ∆ , непрерывна на ∆ , то f( ∆ ) – тоже
    промежуток. Справедливо ли обратное утверждение?
11. Если функция f, определенная на отрезке ∆ , непрерывна на ∆ , то f( ∆ ) – тоже
    отрезок. Справедливо ли обратное утверждение?
12. Если функция у = f(х) определена и строго монотонна в некоторой окрестности
    точки x0, то обратная функция x = ϕ ( y ) непрерывна в точке у0 = f(x0).
13. Если функция f определена и монотонна на промежутке ∆ и f( ∆ ) – промежуток, то
    f непрерывна на ∆ .
14. Если функция f непрерывна на промежутке [a;+∞ ) , и у нее существует конечный
    предел при x → +∞ , то f ограничена на [a;+∞ ) .
15. Если функция f непрерывна на интервале (а;b), то для любого c ∈ R множество всех
     x ∈ (a; b ) таких, что f(x)c), открыто.
16. Если функция f непрерывна на отрезке [a;b], то для любого c ∈ R множество всех
     x ∈ [a; b] таких, что f ( x) ≤ c ( f ( x) ≥ c ), замкнуто.
17. Для того чтобы функция f, определенная на R, была непрерывна на R, необходимо
    и достаточно, чтобы прообраз любого замкнутой) (открытого) множества был
    замкнутым (соответственно открытым) множеством.
18. Любое непрерывное отображение f отрезка ∆ в себя имеет неподвижную точку,
    т.е. ∃x ∈ ∆ : f ( x) = x .
19. Если функция f(х), x ∈ R , непрерывна на R и периодическая с периодом Т, то
                                                          T
                                           ∃k : f  x0 +  = f ( x0 ) .
                                                          2
20. Если функция f(х), x ∈ R , удовлетворяет условию Липшица:
                               ∃k : f ( x1 ) − f ( x2 ) ≤ k x1 − x2 ∀x1 , x2 ∈ R ,
   где k < 1, то уравнение f(х) = х имеет, и притом единственное, решение.
21. Монотонная функция может иметь не более счетного числа точек разрыва.
22. Если непрерывная на отрезке ∆ функция f обратима, то f монотонна на ∆ .
23. Найти все непрерывные на R функции f такие, что
                                     f ( x + y ) = f ( x) ⋅ f ( y ) ∀x, y ∈ R .
24. Найти все непрерывные на R функции f такие, что
                                    f ( x + y ) = f ( x) + f ( y ) ∀x, y ∈ R .
25. Найти все непрерывные на (0;+∞ ) функции f такие, что
                                    f(xy) = f(х) + f(y) ∀x, y ∈ (0;+∞ ) .
26. Найти все непрерывные на (0;+∞ ) функции f такие, что
                                      f(xy) = f(x)f(y) ∀x, y ∈ (0;+∞) .

                                     § 4.
                 Сравнение асимптотического поведения функций

   Пусть функции f(х) и g(х) определены на множестве X, и пусть х0 предельная
точка множества X (конечная или бесконечная). Говорят, что функция f(х) есть
О–большое от g(х) при x → x0 , и пишут f(х) = О(g(х)) при x → x0 , если
                                                                   •
                        ∃c > 0, ∃O( x0 ) : f ( x) ≤ c g ( x) ∀x ∈ O( x0 ) .