ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
28. Найти все частичные пределы последовательности
3
cos
π
n
x
n
=
, , в частности,
Ν∈n
найти
n
n
x
∞→
lim
и
n
n
x
∞→
lim
.
§ 2.
Пределы функций
Пусть с – число или бесконечно удаленная точка действительной прямой
R
, a x
0
–
конечная или бесконечно удаленная предельная точка множества .Точка с
RX ⊂
называется пределом функции f(х), , при (или в точке x
Xx ∈
0
xx →
0
), если для любой
последовательности {х
n
} такой, что
n∀
, и ,
Xx
n
∈
0
xx
n
≠
0
xx
n
=
последовательность y
n
= f(x
n
), , сходится к с. В этом случае пишут ,
Ν∈n cxf
xx
=
→
)(lim
0
или " при ."
cxf →)(
0
xx →
Доказать следующие утверждения.
1.
∀
.
0
sinsinlim
0
xx
xx
=
→
Rx ∈
0
2.
∀
.
0
coscoslim
0
xx
xx
=
→
Rx ∈
0
3. tgx=tgx
0
lim
xx→
0
для любого x
0
из области определения тангенса.
4. ctgx=ctgx
0
lim
xx→
0
для любого х
0
из области определения котангенса.
5.
e
x
x
x
=
+
+∞→
1
1lim
.
6. Функция f(х)=cosx не имеет предела при .
+∞→x
7. Найти предел функции
xx
x
xf
2
4
)(
2
2
−
−
=
в точке x=2.
Дадим второе определение предела функции в точке. (Оно называется
определением по Коши, а предыдущее определением по Гейне.)
Пусть с – число или бесконечно удаленная точка прямой
R
, а х
0
– конечная или
бесконечно удаленная предельная точка множества .Точка с называется
RX ⊂
пределом функции f(х), , при , если
Xx ∈
0
xx →
XxOxxOcO ∩∈∀∃∀
•
)(:)()(
00
,
(1)
)()( cOxf
∈
где – проколотая окрестность точки х
)(
0
xO
•
0
, т.е.
.
}{\)(
00
xxO
•
Доказывается, что определения предела функции по Гейне и по Коши
эквивалентны.
Доказать следующие утверждения.
8.
∀
.
0
0
lim
x
x
xx
cc =
→
Rx ∈
0
9.
∀
.
+∞=
+∞→
x
x
clim
1>c
10. .
0lim =
−∞→
x
x
c
1>∀c
11. Условие (1) для х
0
и с из
R
равносильно условию:
0>∀
ε
∀
.
:0>∃
δ
f
DxOx ∩∈
•
)(
0
δ
)()( cOxf
ε
∈
nπ
28. Найти все частичные пределы последовательности xn = cos , n ∈ Ν , в частности,
3
найти lim xn и lim xn .
n →∞ n →∞
§ 2.
Пределы функций
Пусть с – число или бесконечно удаленная точка действительной прямой R, a x0 –
конечная или бесконечно удаленная предельная точка множества X ⊂ R .Точка с
называется пределом функции f(х), x ∈ X , при x → x0 (или в точке x0), если для любой
последовательности {хn} такой, что
∀n xn ∈ X , xn ≠ x0 и xn = x0 ,
последовательность yn = f(xn), n ∈ Ν , сходится к с. В этом случае пишут lim f ( x) = c ,
x → x0
или " f ( x) → c при x → x0 ."
Доказать следующие утверждения.
1. lim sin x = sin x0 ∀x0 ∈ R .
x → x0
2. lim cos x = cos x0 ∀x0 ∈ R .
x → x0
3. lim tgx=tgx0 для любого x0 из области определения тангенса.
x→ x0
4. lim ctgx=ctgx0 для любого х0 из области определения котангенса.
x→ x0
x
1
5. lim 1 + = e .
x → +∞
x
6. Функция f(х)=cosx не имеет предела при x → +∞ .
x2 − 4
7. Найти предел функции f ( x) = 2 в точке x=2.
x − 2x
Дадим второе определение предела функции в точке. (Оно называется
определением по Коши, а предыдущее определением по Гейне.)
Пусть с – число или бесконечно удаленная точка прямой R, а х0 – конечная или
бесконечно удаленная предельная точка множества X ⊂ R .Точка с называется
пределом функции f(х), x ∈ X , при x → x0 , если
•
∀O(c)∃O( x0 ) : ∀x ∈ O( x0 ) ∩ X f ( x) ∈ O(c) , (1)
• •
где O( x0 ) – проколотая окрестность точки х0, т.е. O( x0 ) \ {x0 } .
Доказывается, что определения предела функции по Гейне и по Коши
эквивалентны.
Доказать следующие утверждения.
8. lim c x = c x0 ∀x0 ∈ R .
x → x0
9. lim c x = +∞ ∀c > 1 .
x → +∞
10. lim c x = 0 ∀c > 1 .
x → −∞
11. Условие (1) для х0 и с из R равносильно условию:
•
∀ε > 0 ∃δ > 0 : ∀x ∈ O δ ( x0 ) ∩ D f f ( x) ∈ Oε (c) .
