Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 20 стр.

   Для заданных функций f и g функция, определяемая формулой у = g(f(x)),
называется сложной функцией или композицией функций f и g и обозначается gof.

                                       x
8. Доказать, что функция y =              на области определения обратима, и найти обратную
                                     x +1
    функцию.
9. Доказать, что функция y = x обратима, и найти обратную функцию.
10. Найти композиции fog и gof, если
    1). f ( x) = x 2 , g ( x) = x ;
   2). f ( x) = 1 − x 2 , g ( x) = 1 − x 2 .
                                                                −1
11. Пусть В – некоторое множество значений функции f. Через f ( B ) обозначим
   полный прообраз множества В, т.е. множество всех x ∈ D f таких, что f ( x) ∈ B .
   Доказать, что f(f-1(B)) = В. А как соотносятся множества A ⊂ D f и f −1 ( f ( A)) ?
12. Доказать, что
                           f −1 ( A ∪ B) = f −1 ( A) ∪ f −1 ( B) ,
                            f −1 ( A ∩ B) = f −1 ( A) ∩ f −1 ( B)
   для любых подмножеств А и В множества значений функции f.

   Для любого положительного числа c ≠ 1 функция, заданная формулой y = c x ,
называется показательной с основанием с, а функция у = logcx – логарифмической с
основанием с. Показательная функция с основанием е называется экспонентой и
обозначается у = ехрх.
   Для любого числа a ≠ 0 функция, заданная формулой у = хa, называется степенной
функцией с показателем а.
13. Найти области определения, множества значений и промежутки монотонности
   функции:
                   y = log 2 x , y = log 2 x 2 , y = log x = 2 , y = log 3 x + log x 3 ;
                                     y = 21 / x , y = 2| x| , y = 21− x − 2 x −1 .
14. Доказать, что
                                sh(х+у)=shхchу+chxshу,
                                ch(х+у)=chхchу+shxshу,
   где shx и chx – гиперболические синус и косинус.

   Пусть на единичной окружности С фиксирована некоторая точка А. Тогда каждой
точке {( x ) n } можно поставить в соответствие две дуги AM и MA: AM откладывается от
А против часовой стрелки, а МА – по часовой стрелке. Каждому числу α ∈ [0;2π )
поставим в соответствие дугу AM α , длина которой равна α , а каждому α ∈ (− 2π ;0 ) –
дугу M α A длины α . Если же α ≥ 2π и α = α 0 + 2nπ , где α 0 < 2π и n – целое, то
положим M α = M α 0 .
   На плоскости, в которой лежит единичная окружность С, введем прямоугольную
декартову систему координат так, чтобы начало координат совпало с центром
окружности С, а точка А имела координаты (1;0). Пусть xα , yα – координаты точки
M α ∈ C в этой системе координат.