ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Если
f
(х) =
О
(
g
(
х
)) и
g
(
х
) =
O
(
f
(
x
)) при , то функции
f
(
х
) и
g
(
х
)
0
xx →
называются функциями одного порядка (или подобными функциями) при
0
xx →
. В этом случае пишут:
при
.
)()( xgxf ∝
0
xx →
Говорят, что функция
f
(
x
) есть
о
-малое от
g
(
х
)
при , и пишут
0
xx →
))(()( xgoxf =
при , если существует функция
а
(
х
), бесконечно малая при
0
xx →
0
xx →
, такая, что
)()( xgxa≤)(xf
для любого из некоторой проко
лотой
Xx ∈
окрестности
O
точки
X
)(
0
x
•
0
Говорят, что функция
f
(
х
) эквивалентна функции
g
(
х
) при , и пишут
0
xx →
f
(
х
)~
g
(
х
) при , если
f
(
х
) –
g
(
x
) =
о
(
g
(
х
)) при
.
0
xx →
0
xx →
Доказать следующие утверждения.
1. Если f(х) = О(g(х)), а , при , то при , т.е.
))(()( xOxg
ϕ
=
0
xx →
))(()( xOxf
ϕ
=
0
xx →
символ О-большое обладает свойством транзитивности.
2. Если и при , то при
))(()( xOxf
ϕ
=
))(()( xOxg
ϕ
=
0
xx →
))(()()( xOxgxf
ϕ
=+
0
xx →
(теорема сложения).
3. Если , а при , то при , т.е. отношение
)()( xgxf
∝
)()( xxg
ϕ
∝
0
xx →
)()( xxf
ϕ
∝
0
xx →
подобия обладает свойством транзитивности. Справедлива ли теорема сложения
для отношения подобия?
4. Если
kxgxf
→
)(/)(
при , причем , то при .
0
xx → +∞<< k0 )()( xgxf ∝
0
xx →
Справедливо ли обратное утверждение?
5. Если , при , то f(х) = о(g(х)) при .
0)(/)( →xgxf
0
xx →
0
xx →
6. Если f(х) = О(g(х)), a при , то при .
))(()( xoxg
ϕ
=
0
xx →
))(()( xoxf
ϕ
=
0
xx →
7. Если и при , то при .
))(()( xoxf
ϕ
= ))(()( xoxg
ϕ
=
0
xx → ))(()()( xoxgxf
ϕ
=±
0
xx →
8. Если , а при , то при .
))(()( xoxf
ϕ
= ))(()( xOxg
ϕ
=
0
xx → ))(()()(
2
xoxgxf
ϕ
=
0
xx →
9. Если f(х) ~ g(х) при , то g(x) ~ f(х) при .
0
xx →
0
xx →
10. Если f(х) ~ g(х), а при , то при .
)0(~)(
ϕ
xg
0
xx → )(~)( xxf
ϕ
0
xx →
11. Если при , то f(х) ~ g(х) при . Справедливо ли обратное
1)(/)(
→
xgxf
0
xx →
0
xx →
утверждение?
12. Для того чтобы график функции у = f(х), х > а, имел асимптоту при ,
)(−∞+∞→x
необходимо и достаточно, чтобы
)1()(:, obkxxfbk
++=∃
при .
)(−∞+∞→x
Если f(х) = О(g(х)) и g ( х ) = O ( f ( x ) ) при x → x0 , то функции f(х) и g(х)
называются функциями одного порядка (или подобными функциями) при
x → x0 . В этом случае пишут: f ( x) ∝ g ( x) при x → x0 .
Говорят, что функция f(x) есть о-малое от g(х) при x → x0 , и пишут
f ( x) = o( g ( x)) при x → x0 , если существует функция а(х), бесконечно малая при
x → x0 , такая, что f (x) ≤ a( x) g ( x) для любого x ∈ X из некоторой проколотой
•
окрестности O( x0 ) точки X0
Говорят, что функция f(х) эквивалентна функции g(х) при x → x0 , и пишут
f(х)~g(х) при x → x0 , если f(х) – g(x) = о(g(х)) при x → x0 .
Доказать следующие утверждения.
1. Если f(х) = О(g(х)), а g ( x) = O(ϕ ( x)) , при x → x0 , то f ( x) = O(ϕ ( x)) при x → x0 , т.е.
символ О-большое обладает свойством транзитивности.
2. Если f ( x) = O(ϕ ( x)) и g ( x) = O(ϕ ( x)) при x → x0 , то f ( x) + g ( x) = O(ϕ ( x)) при x → x0
(теорема сложения).
3. Если f ( x) ∝ g ( x) , а g ( x) ∝ ϕ ( x) при x → x0 , то f ( x) ∝ ϕ ( x) при x → x0 , т.е. отношение
подобия обладает свойством транзитивности. Справедлива ли теорема сложения
для отношения подобия?
4. Если f ( x) / g ( x) → k при x → x0 , причем 0 < k < +∞ , то f ( x) ∝ g ( x) при x → x0 .
Справедливо ли обратное утверждение?
5. Если f ( x) / g ( x) → 0 , при x → x0 , то f(х) = о(g(х)) при x → x0 .
6. Если f(х) = О(g(х)), a g ( x) = o(ϕ ( x)) при x → x0 , то f ( x) = o(ϕ ( x)) при x → x0 .
7. Если f ( x) = o(ϕ ( x)) и g ( x) = o(ϕ ( x)) при x → x0 , то f ( x) ± g ( x) = o(ϕ ( x)) при x → x0 .
8. Если f ( x) = o(ϕ ( x)) , а g ( x) = O(ϕ ( x)) при x → x0 , то f ( x) g ( x) = o(ϕ 2 ( x)) при x → x0 .
9. Если f(х) ~ g(х) при x → x0 , то g(x) ~ f(х) при x → x0 .
10. Если f(х) ~ g(х), а g ( x) ~ ϕ (0) при x → x0 , то f ( x) ~ ϕ ( x) при x → x0 .
11. Если f ( x) / g ( x) → 1 при x → x0 , то f(х) ~ g(х) при x → x0 . Справедливо ли обратное
утверждение?
12. Для того чтобы график функции у = f(х), х > а, имел асимптоту при x → +∞(−∞) ,
необходимо и достаточно, чтобы
∃k , b : f ( x) = kx + b + o(1)
при x → +∞(−∞) .
