Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 16 стр.

                                         lim an = lim xn .
                                         n →∞      n→∞

   Здесь inf xk = inf{xn , xn +1 ,...}
           k ≥n

4. Для любой последовательности {хn} последовательность bn = sup xk , n ∈ Ν , имеет
                                                                   k ≥n
   предел и
                                         lim bn = lim x n .
                                         n →∞      n→∞

   Совокупность некоторых множеств называется покрытием данного множества,
если любая его точка принадлежит некоторому множеству этой совокупности.
   Лемма. Если некоторая совокупность интервалов покрывает заданный отрезок,
то существует конечное число интервалов из этой совокупности, которые тоже
покрывают данный отрезок.
   Коротко эту лемму формулируют так:
   Из любого покрытия отрезка интервалами можно выделить конечное покрытие.

    Справедливы ли следующие утверждения?
5. Из любого покрытия отрезка отрезками можно выделить конечное покрытие.
6. Из любого покрытия интервала интервалами можно выделить конечное покрытие.
7. Очевидно, что система интервалов (n − 0,1; n + 0,1), n ∈ Ν , покрывает множество N.
    Можно ли из этой системы интервалов выделить конечное покрытие множества N?

   Напомним, что два множества называются равномощными, если между их
элементами можно установить взаимно однозначное соответствие. Множество,
равномощное множеству N всех натуральных чисел, называется счетным.

    Доказать следующие утверждения.
8. Множество всех конечных десятичных дробей счетно.
9. Множество Q всех рациональных чисел счетно.
10. Множество R всех действительных чисел несчетно.
11. Построит), взаимно однозначное соответствие между точками отрезков [0;1] и
    [а;b], где а < b.
12. Построить взаимно однозначное соответствие между точками отрезка [0;1] и
    интервала (0;1).
13. Построить взаимно однозначное отображение интервала (0;1) на прямую R.
    Точка x0 множества G ⊂ R называется внутренней, если ∃O( x0 ) : O( x0 ) ⊂ G .
Множество, у которого все точки внутренние, называется открытым. Пустое
множество, по определению, считается открытым.
    Точка x0 ∈ R называется предельной точкой множества G ⊂ R , если
                             ∀O( x0 ) ∃x ∈ G : x ∈ O( x0 ) , x ≠ x0 .
    Множество называется замкнутым, если оно содержит все свои предельные точки
(если, конечно, они есть). Пустое множество, по определению, считается замкнутым.
    Точка x0 ∈ R называется граничной точкой множества G ⊂ R , если в любой
окрестности точки x0 имеются хотя бы по одной точке из G и R\G. Множество всех
граничных точек множества G называется границей множества G и обозначается ∂G .
    Множество, которое получается из множества G присоединением всех его
предельных точек, называется замыканием множества G и обозначается G .
    Точка x0 множества G ⊂ R называется изолированной, если у x0 есть окрестность, в
которой нет других точек из G, кроме x0.

  Доказать следующие утверждения.