Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 11 стр.

                                                              n
19. Если |q| < 1, то последовательность S n = ∑ q k , n ∈ N , сходится. Чему равен этот
                                                             k =1
   предел?
20. Если a – периодическая десятичная дробь, то а – рациональное число.
21. Если lim an = a , то
             n →∞

                                       a1 + a2 + ... + a n
                                               lim         =a
                                  n →∞         n
       Справедливо ли обратное утверждение?

                                         § 5.
                    Предел суммы, разности, произведения и частного

   Пусть заданы две числовые последовательности {an} и {bn}. Тогда
последовательности с n-ми членами
                              xn = a n + bn , y n = a n − bn ,
                                  z n = an bn , u n = an / bn
называются соответственно суммой, разностью, произведением и частным данных
последовательностей и обозначаются {a n + bn } , {a n − bn } , {an bn } , {a n / bn } .
   Доказывается, что если последовательности {an} и {bn} имеют конечные
пределы а и b, то
                          lim(a n ± bn ) = a ± b , lim an bn = ab .
                                        n →∞                  n →∞

  Если, кроме того, bn ≠ 0 ∀n и b ≠ 0 , то
                                           a  a
                                      lim n = .
                                      n →∞ b  b
                                            n
  Последовательность называется бесконечно малой, если она сходится к нулю.
Последовательность {хn} называют бесконечно большой и пишут lim xn = ∞ , если
                                                                           n →∞

lim | xn |= +∞ .
n →∞


    Доказать следующие утверждения.
1. Последовательность {хn} сходится к x0 тогда и только тогда, когда
                                  ∀ε > 0 ∃N ε : ∀n ≥ N ε xn ∈ Oε ( x0 ) ,
    где О(хо) – ε-окрестность точки x0, т.е. Oε ( x0 ) = ( x0 − ε , x0 + ε ) .
2. Сумма, разность и произведение бесконечно малых последовательностей тоже
    являются бесконечно малыми последовательностями. Справедливо ли
    аналогичное          утверждение            для       частного          бесконечно малых
    последовательностей?
3. Произведение бесконечно больших последовательностей есть бесконечно
    большая последовательность. Справедливы ли аналогичные утверждения для
    суммы, разности и частного двух бесконечно больших последовательностей?
4. Если lim bn = b , то lim | bn |=| b |. Справедливо ли обратное утверждение?
            n →∞              n →∞

5. Если lim a n = a , a ≠ 0 и lim bn = 0 , то
            n →∞                     n →∞

                                                          an
                                                     lim     =∞
                                                     n →∞ b
                                                           n

6. Если nk ∈ Ν и lim = +∞ , то
                       k →∞