Введение в анализ (Задачи и упражнения). Яковлев Г.П. - 6 стр.

7. Объединение произвольного бесконечного множества X и счетного множества
    равномощно множеству X.
8. Множество Q всех рациональных чисел счетно.
9. Объединение счетного числа счетных множеств является счетным множеством.

    В математических определениях и утверждениях часто употребляются выражения "для
каждого (любого, всех) ..." и "существует ... такое (такой, такая), что ...". Эти выражения
обозначаются соответственно ∀ и ∃ и называются кванторами: ∀ квантор всеобщности, ∃
– квантор существования.
    Используя кванторы, определение включения A ⊂ B можно сформулировать так:
                                  A ⊂ B , если ∀x ∈ A : x ∈ B ,
а тот факт, что A ⊄ B , – следующим образом:
                                   A ⊄ B , если ∃x ∈ A : x ∉ B .
    Здесь двоеточие означает, что после него идет высказывание, которое справедливо для
указанных х. Для квантора ∀ иногда отступают от такого порядка написания. Например,
вместо ∀n ∈ Ν : 2n > n пишут 2n > n∀n ∈ Ν , что вполне соответствует стилистике русского
языка: вместо "для любого n ∈ Ν2n > n можно сказать "2n > n для любого n ∈ Ν ".
    Приведем еще один пример использования кванторов.
    Функция f ( x ) , определенная на R, называется периодической, если она удовлетворяет
условию:
                                ∃T > 0 : ∀x ∈ R : f ( x + T ) = f ( x) .
Соответственно, f ( x ) не будет периодической, если она удовлетворяет противоположному
условию, т.е.
                                 ∀T > 0∃x ∈ R : f ( x + T ) ≠ f ( x) .

                                       § 2.
                          Бесконечные десятичные дроби
                             и действительные числа

   Напомним, что еще в школе наряду с конечными десятичными дробями, т.е. символами
вида
                                                 ± α 0 , α 1α 2 ...α n , (1)
где α 0 – целое неотрицательное число, а ± α 0 , α 1α 2 ...α n – последовательность из n цифр,
рассматривались и бесконечные десятичные дроби, т.е. символы вида
                                              ± α 0 , α 1α 2 ...α nα n+1 ... , (2)
где ± α 0 , α 1α 2 ...α nα n+1 ... – бесконечная последовательность цифр.
   Будем считать, что конечные десятичные дроби мы умеем сравнивать, складывать,
вычитать и умножать по обычным правилам арифметики. Исходя из этого, для
бесконечных десятичных дробей прежде всего введем соотношения порядка, т.е.
определим понятия "равно", "меньше", "больше". Так упорядоченное множество всех
десятичных дробей обозначается R и называется множеством действительных чисел, а
каждый элемент этого множества – действительным числом.
   Для любой десятичной дроби а вида (2) конечная десятичная дробь (1) называется n-
отрезком дроби α и обозначается (α ) n .
   Десятичные дроби α и β называются равными: α = β , если
                                   ∀n : (α ) n − ( β ) n ≤ 10 − n .
Говорят, что дробь α меньше дроби β : α < β (или β больше α : β > α ), если,
                                ∃n : ( β ) n − (α ) n > 10 − n .