Основы полупроводниковой электроники. Яровой Г.П - 4 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

7
Справедливость уравнения Шредингера (1.3) подтвержда-
ется многочисленными опытами, и имеет смысл рассматри-
вать его как экспериментально установленный закон физики.
Если U(x,y,z,t) = U(x,y,z), т.е. потенциальное поле, в кото-
ром движется частица, не зависит от времени, то можно вос-
пользоваться методом разделения переменных и получить так
называемое стационарное уравнение Шредингера:
.),,(
2
),(),,(),,,(
2
2
ϕψψϕ
ϕ
ψ
ϕψ
zyxU
mdt
d
j
tzyxtzyx
−∇=−
⋅=Ψ
h
h
(1.4)
Отсюда:
.
,0)),,((
2
2
2
h
h
ϕϕ
ψψ
E
j
dt
d
zyxUE
m
−=
=−+∇
(1.5)
Из второго уравнения системы (1.5) для зависимости вол-
новой функции от времени получаем:
tj
Cet
E
jCt
ω
ϕ
−
=−= )exp()(
h
. (1.6)
Таким образом, выражение для волновой функции приоб-
ретает вид:
tj
ertr
ω
ψ
−
=Ψ )(),(
rr
. (1.7)
Непосредственной подстановкой можно убедиться, что
уравнение Шредингера удовлетворяется только комплексны-
ми волновыми функциями. Поэтому физический смысл имеет
не сама функция
Ψ
, а величина
*
ΨΨ
− плотность вероятно-
сти обнаружения квантовой частицы. Вероятность обнаруже-
ния частицы в бесконечно малом объеме dV выражается сле-
дующим образом:
dVdV
2
*
Ψ≡ΨΨ . (1.8)
8
Условие нормировки
∫
=Ψ
V
dV 1
2
означает физически, что
вероятность обнаружить частицу в какой-либо точке про-
странства есть достоверность.
Плотность вероятности
2
)()(
rrW
rr
Ψ=
должна быть од-
нозначной функцией координат. Поэтому и волновая функция
также должна быть однозначной функцией
r
r
и согласно ус-
ловию нормировки не должна нигде обращаться в бесконеч-
ность.
Волновая функция ψ (или Ψ) должна удовлетворять сле-
дующим требованиям:
1) она должна допускать нормировку;
2) она должна быть ограниченной, непрерывной и одно-
значной функцией;
3) пространственные производные от волновой функции
должны быть непрерывными функциями.
Значения энергии E, при которых уравнение Шредингера
имеет решения, удовлетворяющие граничным условиям и фи-
зическому смыслу плотности вероятности, называют собст-
венными значениям уравнения Шредингера. Совокупность
собственных значений E
1
, E
2
,...,E
m
образует спектр собст-
венных значений или энергетический спектр. Волновые
функции ψ
i
, являющиеся решениями уравнения Шредингера
при собственных значениях энергии E
i
, называются собст-
венными функциями уравнения Шредингера.
1.2. Движение свободной частицы
Для свободной частицы, движущейся вдоль оси x,
U(x)=const=0 и уравнение Шредингера приобретает следую-
щий вид:
2
22
2 xmt
j
∂
∂
∂
∂Ψ
=
Ψ
−
h
h . (1.9)

Страницы