Основы полупроводниковой электроники. Яровой Г.П - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

9
Применяя метод разделения переменных, получим:
.
,0
2
22
2
ϕ
ϕ
ψ
ψ
E
j
dt
d
E
m
dx
d
h
h
−=
=+
(1.10)
Для свободной частицы
2
2
2
2
2
22
λm
h
m
p
mv
TE ==== .
Тогда
2
2
2
2
42
kE
m
==
λ
π
h
. Поэтому решением стационарного
уравнения Шредингера является функция:
jkxjkx
BeAetx
−
+=
),(
ψ . (1.11)
Умножая это равенство на ϕ(t)=exp(jωt), получаем общее
решение нестационарного уравнения Шредингера для сво-
бодной частицы:
)()(
),(
tkxjtkxj
BeAetx
ωω+−−
+=Ψ . (1.12)
Это соотношение представляет собой суперпозицию двух
плоских волн, распространяющихся в противоположных на-
правлениях.
Зависимость энергии частицы от волнового числа имеет
вид:
2
2
2
k
m
E
h
= . (1.13)
Таким образом, энергия свободной частицы
пропорциональна квадрату волнового числа. Так как на
волновой вектор никаких ограничений не налагается, то
свободная частица может обладать любой энергией, т.е. её
энергетический спектр является сплошным. Полученная
формула представляет собой дисперсионное соотношение для
10
ляет собой дисперсионное соотношение для свободной части-
цы (рис. 1.1).
e EУ
E
k
Рис. 1.1. Дисперсионная кривая для свободной частицы
Поскольку для свободной частицы из решения (1.12)
следует, что
2
Ψ не зависит от координаты, волновая
функция (1.12) должна быть нормирована несколько иначе,
чем такая волновая функция, которая отлична от нуля лишь в
ограниченной области пространства. Волновую функцию
свободной частицы часто нормируют так, чтобы на единицу
длины в направлении движения приходилась одна частица.
Если известно, что свободная частица, движущаяся в по-
ложительном направлении оси x, в данный момент находится
в интервале ∆x, то энергию и импульс частицы нельзя опреде-
лить точно и нельзя пользоваться волновой функцией вида
(1.12). Поскольку dxtxtx ),(),(
*
ΨΨ есть вероятность нахож-
дения частицы в интервале между x и x+dx, мы должны по-
добрать волновую функцию, отличную от нуля только в об-
ласти ∆x.
Известно, что можно образовать короткий цуг волн путем
наложения гармонических волн с почти одинаковыми длина-
ми и подходящими амплитудами и фазами. Такой цуг волн
называется волновым пакетом. Если
)](exp[),( kxtjAtx −=Ψω
есть решение уравнения Шрединге-
ра, то и сумма таких волновых функций с различными значе-
ниями волнового числа также будет решением уравнения
Шредингера:

Страницы