Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных. Яворский В.А. - 11 стр.

                                                         s = f ( x, y , z )                                  (6.1)
      Также известны окончательные результаты прямых измерений                                               x ± Δx ,       y ± Δy ,
 z ± Δz . Предполагается, что для величины x, y, z являются случайными и к ним применимо
нормальное распределение.
      Тогда для среднего значения:
                                                          s = f    (   x , y , z        )                               (6.2)
      Для погрешности:
                                          ( f x′)       Δx 2 + ( f y′ ) Δy 2 + ( f z′) Δz 2
                                                    2                  2                2
                                Δs =                                                                         (6.3)
      где f x′ , f y′ , f z′ – частные производные в точке                     (   x , y , z ).
      Следует помнить, что при непосредственных расчетах в формулу необходимо
подставлять погрешности Δx, Δy, Δz, найденные для одного и того же значения
доверительной вероятности. Погрешность косвенного измерения   s   также будет
соответствовать этому значению доверительной вероятности. Рекомендуется использовать
значение вероятности α = 0,68.
       Сравнение между собой величин f x′Δx , f y′Δy , f z′Δz дает возможность выделить
«критический» фактор, процесс измерения которого дает наибольший вклад в погрешность
Δs . Если, например, величина f x′Δx больше остальных более чем в 2 – 3 раза, то их вкладом
в погрешность Δs можно пренебречь. Для повышения точности измерения величины s в
первую очередь надо повышать точность измерения «критического» фактора.
       Для наиболее распространенных зависимостей в таблице №3 приведены формулы для
расчета погрешности:

      Таблица №3. Связь погрешностей прямых и косвенных измерений

              Рабочая зависимость                                          Формула погрешности
               s = A⋅ x ± B ⋅ y ± C ⋅ z
                                                                           ( A ⋅ Δx ) + ( B ⋅ Δ y ) + ( C ⋅ Δ z )
                                                                                    2              2                2
                                                               Δs =
                   s = Ax ±α y ± β z ±γ                        δs =        (α ⋅ δ x ) + ( β ⋅ δ y ) + (γ ⋅ δ z )
                                                                                    2              2                2


                        s = ln x                                                 Δs = Δx x
                        s = ex                                                    δ s = Δx
                     s = A ⋅ sin ϕ                                            Δs = A ⋅ cos ϕ ⋅ Δϕ

       В таблице приняты следующие обозначения: Δ – для абсолютной погрешности, δ –
для относительной погрешности, A, B, C, α, β, γ – постоянные, x, y, z, ϕ – результаты прямых
измерений, s – результат косвенного измерения.
       Одной из типичных ошибок планирования эксперимента является косвенное
измерение величины s через разность измеряемых напрямую величин A и B, если их
абсолютные значения много больше значения величины s (например, поиск толщины стенки
трубы через измерение ее внешнего и внутреннего радиусов). При этом погрешность Δs
будет того же порядка или может даже превосходить значение искомой величины s.
Аналогично – деление друг на друга больших величин или степень с маленьким основанием
и большим показателем. Во всех этих случаях необходимо искать альтернативные пути.




                                                                       11