Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных. Яворский В.А. - 13 стр.

        Таблица №4. Примеры линеаризации зависимостей.

        Вид                 Получаемая
    нелинейной                линейная                  y             x             a              b
    зависимости             зависимость
       v = k ⋅uz          ln v = z ln u + ln k        ln v          ln u            z            ln k
       v = k ⋅ e zu        ln v = zu + ln k           ln v            u             z            ln k
                                    −1                                -1
      v = k ⋅e  zu
                          ln v = zu + ln k            ln v           u              z            ln k
             u
      v=                    v −1 = ku −1 + z           v-1           u-1            k              z
          k + zu

       Обращаем внимание на то, что после вычисления погрешностей величин a и b
переход к погрешностям реальных физических величин k и z осуществляется по формулам
для погрешностей косвенных измерений.

9. Метод наименьших квадратов
       Этот метод является одним из наиболее распространенных приемов статистической
обработки экспериментальных данных, относящихся к различным функциональным
зависимостям физических величин друг от друга. В том числе, он применим к линейной
зависимости и позволяет получить достоверные оценки ее параметров a и b, а также оценить
их погрешности.
       Рассмотрим статистическую модель эксперимента, в котором исследуют линейную
зависимость. Пусть проведено n > 2 парных измерений величин x и y: xi, yi, где i = 1, ..., n. По
экспериментальным данным необходимо найти оценки параметров a и b, а также оценки их
дисперсий σ a2 и σ b2 . О природе экспериментальных погрешностей сделаем следующие
предположения:
       1. Значения xi известны точно, т.е. без погрешностей.
       2. Распределения величин yi взаимно независимы, имеют одну и ту же дисперсию σ2 и
отвечают нормальному закону. Распределения yi имеют средние значения y i , которые
совпадают с точным значением функции axi+b.
       3. Систематические погрешности отсутствуют. В частности, все промахи, т.е. точки,
выходящие за 3σ-интервал, отброшены.
       Запишем функцию правдоподобия как вероятность реализации набора полученных
экспериментальных данных:
               1         ⎧ ( y1 − (ax1 + b ))2 ⎫              1       ⎧ ( y n − (axn + b ))2 ⎫
       L=           exp⎨−                       ⎬ ∗ ... ∗         exp⎨−                       ⎬=
             σ 2π        ⎩         2σ 2         ⎭         σ 2π        ⎩          2σ 2         ⎭
                    n
                                                                                                  (9.1)
          ⎛ 1 ⎞            ⎧ 1 n                            2⎫
       = ⎜⎜       ⎟⎟ exp⎨−        2 ∑
                                       ( yi − (axi + b )) ⎬
          ⎝ σ 2π ⎠         ⎩ 2σ i =1                         ⎭
       Логарифмируем обе части:
                                          n             n           1 n
                                ln L = − ln 2π − ln σ 2 −             2 ∑
                                                                           ( yi − (axi + b ))2
                                          2             2          2σ i =1
       Оценками a, b, σ будет правильным считать значения, при которых L и lnL
                               2

максимальны,          т.е.    реализуется          наибольшая           вероятность          получения  набора
экспериментальных данных. Экстремум функции lnL находят дифференцированием:
                                         ∂ ln L           ∂ ln L      ∂ ln L
                                                 = 0,            = 0,         =0                (9.2)
                                           ∂a               ∂b         ∂σ 2

                                                            13