Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных. Яворский В.А. - 15 стр.

       Обращаем внимание, что для перехода от величин σ a и σ b к погрешностям Δa и Δb
их следует умножить на коэффициент Стьюдента:
                                    Δa = t (α , n − 1)σ a              (9.11)
                                    Δb = t (α , n − 1)σ b ,
       где α – уровень значимости, n – количество парных измерений (см. таблицу № 2).
Значение n–1 берется в связи с тем, что в методе наименьших квадратов из
экспериментальных данных находят не одну величину, а две – a и b. Связь между ними
уменьшает количество независимых случайных переменных, складывающихся в
распределение Стьюдента.
       Если линейная зависимость была получена из модельной путем линеаризации,
переход к погрешностям реальных физических величин осуществляется по формулам для
погрешностей косвенных измерений, после чего идет окончательная запись результата.
       Описанный выше способ определения наилучшей линейной аппроксимации данных
носит название метода наименьших квадратов, поскольку при данных значениях
параметров достигается минимум величины «отклонения» прямой от экспериментальных
данных:
                                                n
                                  S = ∑ ( yi − (axi + b ))
                                                                       2
                                                                                       (9.12)
                                               i =1
      Частным является случай, когда предполагается, что теоретическая линейная
зависимость проходит через начало координат, т.е. имеет функциональный вид y = kx .
Для определения величины параметра k и его погрешности используют формулы:
                             xy
                         k= 2
                             x

                         σ2 =
                                 n
                                n−2
                                      (       y 2 − k 2 x2         )                   (9.13)

                                          σ2                     1         y2
                         σk =                                 =                 − k2
                                 (
                                 n x − x  2           2
                                                          )     n−2        x2
      Одной из типичных ошибок является поиск значения параметра k через усреднение
коэффициентов наклонов для разных точек, полученных в эксперименте:
                                               1 n y
                                   k усредн = ∑ i                     (9.14)
                                               n i =1 xi
      Данное значение не является оптимальным, поскольку точки, расположенные ближе к
началу координат, вносят больший вклад в конечное значение, чем точки на другом конце
графика, тем самым искажая результат.
      Иногда при обработке линейной зависимости необходимо найти координату точки
пересечения графиком оси x:
                                   c = −b a                           (9.15)
      Соответствующая дисперсия
                                        2⎛σ a     σ b2 ⎞
                                             2
                               σ c = c ⎜⎜ 2 + 2 ⎟⎟
                                 2
                                                                      (9.15)
                                         ⎝a        b ⎠

10. Статистическая проверка гипотез
      Анализ результатов эксперимента с помощью математической статистики часто
сводится к проверке справедливости предположений, или гипотез, относительно изучаемого
физического явления и полученных в эксперименте данных. Насколько результат
эксперимента соответствует известному табличному значению? Совпадают ли результаты на
                                                              15