Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных. Яворский В.А. - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МФТИ | Москва

Составители: 

Рубрика: 

() ()
0
,,
x
xx
tn tn
αα
σ
−
−≤ ≤+
()
(
)
0
,,
x
x
xt n x xt n
α
σα
−≤≤+
σ
(10.4)
При попадании заданного значения x
0
в найденный интервал вокруг гипотезу о
совпадении
x
и x
0
нужно расценивать как справедливую для уровня значимости
α
.
В измерениях принято использовать вероятность α=0,68, в пределе при больших n
задающую интервал
x
σ
± вокруг
x
. Для повышения достоверности сравнения используют
уровень значимости α=0,997, определяющий более широкий интервал, в пределе
стремящийся к
3
x
σ
± .
Для малых n за погрешность прямого многократного измерения величины x
естественно принимать
()
,
xt n
α
σ
Δ= , как и предлагалось при обсуждении погрешностей
прямых измерений. Именно в интервале, задаваемом Δx, могут оказаться точные величины
x
0
, совпадающие с результатом измерения
x
. В случае косвенного измерения результаты
прямых измерений определяют погрешность результата косвенного измерения. При этом
необходимо выбрать равный уровень значимости для результатов всех прямых измерений,
который переносится на уровень значимости результата косвенного измерения.
Гипотеза совпадения двух независимых средних величин
Из двух независимых экспериментов получены две группы результатов многократных
измерений x
1
, x
2
, …, x
n1
и y
1
, y
2
, …, y
n2
нормально распределенных величин x и y. После
обработки найдены оценки
x
,
2
x
σ
и
y
,
2
y
σ
. Проверяется гипотеза о том, что
x
y= .
Введем новую величину
22
x
y
x
y
t
σ
σ
−
=
+
(10.5)
При справедливости равенства
x
y= для
∞
→
1
n и
∞
→
2
n установлено, что при
конечных значениях количеств измерений n
1
и n
2
распределение величины t близко к
распределению Стьюдента, у которого
(
)
()()
2
22
2
22
12
1
11
xy
xy
n
nn
σσ
σσ
+
=+
+
2
−
−
(10.6)
При уровне значимости
α
гипотеза
x
y= подтверждена, если
() (
nttnt ,,
)
α
α
+≤≤− , чему соответствует доверительная вероятность
α
.
Гипотеза о линейности данных
После определения значений параметров с помощью метода наименьших квадратов
необходимо проверить справедливость гипотезы о том, что экспериментально
зарегистрированная зависимость является линейной. Фактически речь идет о
верификации
(проверке справедливости) используемого модельного описания. Обратимся к выражению,
задающему остаточную сумму квадратов
()(
∑
=
+−=
n
i
ii
baxyS
1
2
)
, (10.7)
17
                                             x − x0
                             −t (α , n ) ≤                ≤ +t (α , n )
                                              σ    x

                              x − t (α , n ) σ    x
                                                        ≤ x0 ≤ x + t (α , n ) σ                    x
                                                                                                             (10.4)
      При попадании заданного значения x0 в найденный интервал вокруг гипотезу о
совпадении x и x0 нужно расценивать как справедливую для уровня значимости α.
      В измерениях принято использовать вероятность α=0,68, в пределе при больших n
задающую интервал ±σ x вокруг x . Для повышения достоверности сравнения используют
уровень значимости α=0,997, определяющий более широкий интервал, в пределе
стремящийся к ±3σ x .
       Для малых n за погрешность прямого многократного измерения величины x
естественно принимать Δx = t (α , n ) σ x , как и предлагалось при обсуждении погрешностей
прямых измерений. Именно в интервале, задаваемом Δx, могут оказаться точные величины
x0, совпадающие с результатом измерения x . В случае косвенного измерения результаты
прямых измерений определяют погрешность результата косвенного измерения. При этом
необходимо выбрать равный уровень значимости для результатов всех прямых измерений,
который переносится на уровень значимости результата косвенного измерения.

Гипотеза совпадения двух независимых средних величин

      Из двух независимых экспериментов получены две группы результатов многократных
измерений x1, x2, …, xn1 и y1, y2, …, yn2 нормально распределенных величин x и y. После
обработки найдены оценки x , σ 2x и y , σ 2y . Проверяется гипотеза о том, что x = y .
       Введем новую величину
                                                            x − y
                                                   t=                                                                 (10.5)
                                                           σ 2x + σ 2y
       При справедливости равенства x = y для n1 → ∞ и n2 → ∞ установлено, что при
конечных значениях количеств измерений n1 и n2 распределение величины t близко к
распределению Стьюдента, у которого
                                                           (σ                       )
                                                                                         2
                                                                  2
                                                                   x
                                                                           + σ 2y
                                             n = 1+                                                          (10.6)
                                                         (σ ) + (σ )
                                                                       2                     2
                                                             2                      2
                                                              x                      y

                                                           n1 − 1              n2 − 1
       При      уровне     значимости             α         гипотеза                             x = y   подтверждена,         если
− t (α , n ) ≤ t ≤ +t (α , n ) , чему соответствует доверительная вероятность α.

Гипотеза о линейности данных

       После определения значений параметров с помощью метода наименьших квадратов
необходимо проверить справедливость гипотезы о том, что экспериментально
зарегистрированная зависимость является линейной. Фактически речь идет о верификации
(проверке справедливости) используемого модельного описания. Обратимся к выражению,
задающему остаточную сумму квадратов
                                                  n
                                         S = ∑ ( yi − (axi + b )) ,
                                                                                    2
                                                                                                             (10.7)
                                                 i =1




                                                                       17

Страницы