Планирование научного эксперимента и обработка экспериментальных данных. Яворский В.А. - 14 стр.

      После дифференцирования система уравнений относительно искомых параметров
примет вид:
                                   n

                                  ∑ [x ( y
                                  i =1
                                             i       i   − axi − b )] = 0
                                    n

                                  ∑ (y
                                  i =1
                                             i   − axi − b ) = 0                                          (9.3)
                                                     n
                                  nσ 2 = ∑ ( yi − axi − b )
                                                                                   2

                                                  i =1
                                         n
                                  1
      Вводя средние величины z =    ∑ zi , получаем:
                                  n i =1
                                  xy − x y
                               a=           2
                                              ;
                                    x2 − x
                                                                 x2       y − x xy
                               b = y −a x =                                              2
                                                                                                          (9.4)
                                                                        x2 − x
                              σ 2 = y2 − y − a2
                                                            2
                                                                        (x     2
                                                                                       − x
                                                                                              2
                                                                                                  )
       Для получения несмещенной относительно точного значения оценки дисперсии
(вследствие конечного числа измерений полученные значения параметров a и b отличаются
от предельных) последнее выражение надо умножить на n (n − 2 ) :

                          σ2 =
                                   n ⎡ 2
                                 n−2 ⎣
                                          y − y − a2 x2 − x ⎤
                                                   2             2

                                                                   ⎦     (
                                                                     (9.5)                            )
       Оценим теперь дисперсии параметров. Преобразуем выражение для a:
                               n                      x − x
                          a = ∑ k j y j , где k j = n j              (9.6)
                                                    ∑(xj − x )
                                                               2
                              j =1

                                                                j =1

      После преобразования видно, что a получается как линейная комбинация взаимно
независимых величин yj, так как коэффициенты kj заданы точно – согласно пункту 1
предположений о статистике изучаемых величин. Следовательно, параметр a распределен
нормально, а его дисперсия σa2 представляет собой линейную комбинацию дисперсий
величин yj с коэффициентами kj2 – это свойство сложения нормальных распределений уже
встречалось при рассмотрении погрешностей косвенных измерений.
                         n
                                         nσ 2               σ2
                  σ a = ∑ k jσ =
                    2        2 2
                                                      =             (9.7)
                        j =1
                                    n
                                           ⎛ n ⎞
                                 n∑ xi − ⎜ ∑ xi ⎟
                                       2
                                                    2
                                                        n x2 − x
                                                                 2
                                                                          (                           )
                                  i =1     ⎝ i =1 ⎠
      Подставляя выражение для дисперсии из формулы (9.5), получаем оценку для
стандартного отклонения параметра a:
                                                                    2
                               1                 y2 − y
                         σa =                                       2
                                                                        − a2                              (9.8)
                              n−2                x − x
                                                     2


      Преобразуем выражение для b:
                                     1 n          1 n
                                  b=   ∑ i n∑
                                     n i =1
                                            y − a
                                                    i =1
                                                         xi           (9.9)

      Параметр b также нормально распределен. Его стандартное отклонение:
                                             σ2                 2
                                σb =                     + x σ a2 = σ a                  x2               (9.10)
                                                 n
                                                                14