Волновая и квантовая оптика. Задера С.Я - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

- 40 -
где
1
1
j
N
j
e
Aa
e
δ
δ
−
=⋅
−
- комплексная амплитуда.
Интенсивность света в точке
Р пропорциональна квадрату амплитуды.
В нашем случае комплексную амплитуду
A
умножаем на комплексную
сопряженную
A
∗
:
()
()
()
()
22
2
222
2
11 1 1
11 1 1
2
2
1
12
2
jN jN jN jN
jj jj
jN jN
jj
ee ee
IAAa a
ee ee
ee
sin N
cos N
aaa.
cos sin
ee
δ−δ −δδ
∗
δ−δ −δδ
δ−δ
δ−δ
−− −−+
=⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ =
−− −−+
−+
δ
−δ
=⋅ =⋅ =⋅
−δ δ
−+
Для того, чтобы провести эти преобразования необходимо помнить,
что
2
jj
ee
cos ,
α−α
+
=α
а
2
12
2
cos sin .
α
−α=
Итак,
()
)
()
2
2
2
2
sin N
I
I,
sin
ϕ
δ
δ=
δ
(32)
где
I
ϕ
- интенсивность света для угла дифракции
ϕ
, созданная одной щелью.
Проанализируем полученное выражение (32):
1.
При
(
)
2012m, m ; ; ;...δ= π = ± ± . Выражение
()
I
δ становится
неопределенным. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя:
(
)
()
)
)
()()
(
)
()
2
2
22 2
222 22 2
222212 2
mm m
sin N sin N cos N N sin N
lim lim lim N .
sin sin cos sin
δ→ π δ→ π δ→ π
δδδ⋅ δ
==
δδδ⋅ δ
Полученное выражение также является неопределенным. Применим правило
Лопиталя еще раз:
(
)
()
)
()
)
()
2
2
2
22 2
22 22
22 212
mm m
sin N sin N cos N N
lim lim N lim N N .
sin sin cos
δ→ π δ→ π δ→ π
δδ δ⋅
== =
δδ δ⋅
Таким образом, для
()
2
012
m,
m;;;...
δ
=π
=±±
(33)
наблюдаются главные максимумы и интенсивность в них в N
2
раз больше,
чем в максимумах дифракционной картины от одной щели:
)
2
I
IN.
ϕ
δ
=⋅ 
            1 − e jN δ
где A = a ⋅            - комплексная амплитуда.
            1 − e jδ
       Интенсивность света в точке Р пропорциональна квадрату амплитуды.

В нашем случае комплексную амплитуду A умножаем на комплексную
                   ∗
сопряженную A :
                       ∗         1 − e jN δ 1 − e − jN δ    2 1− e
                                                                    − jN δ
                                                                           − e jN δ + 1
               I = A⋅ A = a ⋅ 2
                                             ⋅           =a ⋅                           =
                                  1 − e jδ 1 − e − jδ           1 − e − jδ − e jδ + 1
                     2 − ( e jN δ + e − jN δ )   2 1 − cos N δ        2 sin ( N δ 2 )
                                                                              2
               =a ⋅
                  2
                                               =a ⋅              =a ⋅                     .
                      2 − ( e jδ + e − jδ )           1 − cos δ            sin 2 ( δ 2 )
       Для того, чтобы провести эти преобразования необходимо помнить,
    e jα + e − jα                                α
что               = cos α , а 1 − cos α = 2 sin 2 .
         2                                       2
                                                             sin 2 ( N δ 2 )
       Итак,                                     I ( δ) = Iϕ                 ,                    (32)
                                                              sin 2 ( δ 2 )

где Iϕ - интенсивность света для угла дифракции ϕ , созданная одной щелью.

       Проанализируем полученное выражение (32):
           1. При      δ = 2πm,( m = 0; ± 1; ± 2;...) . Выражение                  I (δ)      становится
неопределенным. Раскроем неопределенность по правилу Лопиталя:
          sin 2 ( N δ 2 )           2 sin ( N δ 2 ) cos ( N δ 2 ) ⋅ N 2            sin ( N δ 2 )
    lim                   =  lim                                        =  lim   N               .
   δ→ 2 πm sin 2 ( δ 2 )    δ→ 2 πm    2 sin ( δ 2 ) cos ( δ 2 ) ⋅ 1 2    δ→2 πm    sin ( δ 2 )
Полученное выражение также является неопределенным. Применим правило
Лопиталя еще раз:
              sin 2 ( N δ 2 )             sin ( N δ 2 )         cos ( N δ 2 ) ⋅ N 2
        lim                   =  lim    N               = lim N                     = N 2.
       δ→ 2 πm sin ( δ 2 )
                    2           δ→ 2 πm    sin ( δ 2 ) δ→2 πm    cos ( δ 2 ) ⋅ 1 2
       Таким образом, для
                                                    δ = 2πm,
                                                                                                    (33)
                                                    ( m = 0; ± 1; ± 2;...)
наблюдаются главные максимумы и интенсивность в них в N2 раз больше,
чем в максимумах дифракционной картины от одной щели:
                                           I ( δ) = Iϕ ⋅ N 2 .

                                                 - 40 -

Страницы