Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 262 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

262 Индивидуальные задания
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
5.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
x
1
− x
2
+ x
3
− x
4
−2x
5
= 0,
4x
1
+ 5x
2
− 3x
3
− 5x
4
+ 7x
5
= 3,
2x
1
+ x
2
− x
3
−x
4
+ x
5
= 1,
3x
1
+ 3x
2
− 3x
3
− 3x
4
+ 4x
5
= 2.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
5.9. Показать, что решение однородной системы из примера 5.7 образует линейное
пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
5.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением ги-
перплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 5.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость прохо-
дит, а также направляющее подпространство плоскости.
5.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 5.1.
5.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональну ю проекцию вектора ~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи 5.11.
5.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
=
(3, 1, 2),
~
f
2
= (2, 0, 3),
~
f
3
= (1, 0, 2), ~x = (3, 5, −6).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
5.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (4x
3
+ 2x
2
, −x
3
− 2x
1
, x
2
− 4x
1
),
b
G
2
~x = (2x
3
, −x
2
, x
1
).
а) Доказать, что
b
G
1
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор (
b
G
1
b
G
2
−
b
G
2
) действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 5.13.
5.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
4 2
1 3
, G
2
=
2 0 0
3 3 −4
4 −4 −3
!
.
5.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 5.5.
Найти:
а) расстояние от этой плоскости до начала координат;
б) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и являющейся ортого-
нальным дополнением π
2
.

Страницы