Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 260 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

260 Индивидуальные задания
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
4.9. Показать, что решение однородной системы из примера 4.7 образует линейное
пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
4.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением ги-
перплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 4.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость прохо-
дит, а также направляющее подпространство плоскости.
4.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, {~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 4.1.
4.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональну ю проекцию вектора ~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи 4.12.
4.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
=
(1, −1, 1),
~
f
2
= (−1, 4, 3),
~
f
3
= (8, 1, −1), ~x = (8, 4, 1).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
4.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (−x
2
− 2x
3
, x
1
+ x
3
, 2x
1
− x
2
),
b
G
2
~x = (x
1
+ 2x
2
, x
1
− x
3
, 2x
2
− x
3
).
а) Доказать, что
b
G
1
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор (
b
G
1
−
b
G
2
b
G
1
) действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 4.13.
4.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
−3 −1
5 1
, G
2
=
1 3 0
0 −1 0
3 8 1
!
.
4.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 4.5.
Найти:
а) расстояние от этой плоскости до начала координат;
б) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и являющейся ортого-
нальным дополнением π
2
.
4.17. В экспериментах по определению величин ~x
1
, ~x
2
и ~x
3
из результатов измере-
ний в силу их погрешности получена следующая несовместная система уравнений
x
1
+ x
2
+ x
3
= 3,
2x
1
− 3x
2
+ x
3
= 0,
2x
1
− 3x
2
+ x
3
= 1.
Методом наименьших квадратов найти приближенные значения искомых величин и
надежность их измерений.

Страницы