Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 258 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

258 Индивидуальные задания
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
3.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (−x
3
+ 3x
2
, −2x
3
− 3x
1
, 2x
2
+ x
1
),
b
G
2
~x = (2x
1
, x
1
+ x
2
, −x
3
).
а) Доказать, что
b
G
1
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор (
b
G
1
−
b
G
1
b
G
2
) действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 3.13.
3.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
3 1
2 4
, G
2
=
1 −2 0
−2 2 −2
0 −2 −2
!
.
3.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 3.5.
Найти:
а) расстояние от этой плоскости до начала координат;
б) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и являющейся ортого-
нальным дополнением π
2
.
3.17. В экспериментах по определению величин ~x
1
, ~x
2
и ~x
3
из результатов измере-
ний в силу их погрешности получена следующая несовместная система уравнений
x
1
+ x
2
+ x
3
= 1,
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 4,
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 5.
Методом наименьших квадратов найти приближенные значения искомых величин и
надежность их измерений.
Вариант № 4
4.1. Дана матрица
A =
2 3 −3 4
2 1 −1 2
8 3 2 2
8 5 1 5
.
а) Вычислить ее определитель det A, разложив его по элементам 2-го столбца;
б) вычислить det A, получив в каком-либо его ряду максимальное число нулей;
в) вычислить det(3A);
г) составить матрицу B, заменив 2-ой столбец матрицы A линейной комбинацией 4-го
и 3-го столбцов с коэффициентами 2 и 1/2, соответственно;
д) вычислить det B и det(AB);
е) вычислить det A
−1
.

Страницы