Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 257 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 257
а) поменять местами 1-ю и 2-ю строки;
б) ко 2-й строке прибавить 2-ю и 3-ю, умноженные на 2 и −1, соответственно.
3.5. Дана система линейных уравнений
x
1
− x
2
+ x
3
= 2,
x
2
+ x
3
− x
4
= 0,
3x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
= 2,
3x
1
+ x
2
+ 6x
3
+ x
4
= 0.
а) Доказать, что система имеет единственное решение;
б) неизвестное x
4
найти по формулам Крамера;
в) остальные неизвестные найти методом Гаусса.
3.6. Дана система линейных уравнений
x
1
+ x
2
+ x
3
= 1,
2x
1
+ 3x
2
+ x
3
= 4,
2x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
= 1.
а) Доказать, что система имеет единственное решение и найти его матричным
методом;
б) неизвестное x
2
найти по формулам Крамера и сравнить с полученным выше
решением.
3.7. Дана система линейных однородных уравнений
2x
1
+ 2x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
+ 3x
5
= 0,
5x
1
+ 3x
2
+ x
3
+ 2x
4
+ 3x
5
= 0,
9x
1
+ 7x
2
+ 5x
3
+ 6x
4
+ 9x
5
= 0.
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
3.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
2x
1
− x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
+ 2x
5
= 1,
3x
1
+ x
2
+ 3x
3
+ x
4
− x
5
= 2,
3x
1
− 4x
2
+ 3x
4
+ 5x
4
+ 7x
5
= 1.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
3.9. Показать, что решение однородной системы из примера 3.7 образует линейное
пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
3.10. Найти параметрические уравнения плоскости, я вляющейся пересечением ги-
перплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 3.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость прохо-
дит, а также направляющее подпространство плоскости.
3.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 3.1.
3.12. Найти ортогональную составляющ ую и ортогональную проекцию вектора ~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи 3.11.
3.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
=
(3, −2, 1),
~
f
2
= (−1, 1, −2),
~
f
3
= (2, 1, −3), ~x = (11, −6, 5).

Страницы