Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 255 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 255
в) остальные неизвестные найти методом Гаусса.
2.6. Дана система линейных уравнений
3x
1
+ 4x
2
− 3x
3
= 0,
2x
1
+ 3x
2
− 5x
3
= −3,
x
3
= 1.
а) Доказать, что система имеет единственное решение и найти его матричным
методом;
б) неизвестное x
1
найти по формулам Крамера и сравнить с полученным выше
решением.
2.7. Дана система линейных однородных уравнений
x
1
+ x
2
− x
3
− 2x
4
− x
5
= 0,
x
1
+ x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
− x
5
= 0,
x
1
+ x
2
− 5x
3
− 8x
4
− x
5
= 0.
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
2.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
x
1
+ x
2
− x
3
+ 2x
4
+ x
5
= −1,
x
1
− x
2
+ x
3
+ 4x
4
−x
5
= 3,
x
1
− x
2
− x
3
+ 2x
4
−x
5
= 3,
x
1
+ x
2
+ x
3
+ 4x
4
+ x
5
= −1.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
2.9. Показать, что решение однородной системы из примера 2.7 образует линейное
пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
2.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением ги-
перплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 2.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость прохо-
дит, а также направляющее подпространство плоскости.
2.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 2.1.
2.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора ~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи 2.11.
2.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
=
(2, 1, 2),
~
f
2
= (3, 2, 5),
~
f
3
= (4, 0, 0), ~x = (10, 1, −3).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
2.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (−x
3
− 5x
2
, −4x
3
+ 5x
1
, 4x
2
+ x
1
),
b
G
2
~x = (−x
1
, x
1
+ x
3
, x
2
).
а) Доказать, что
b
G
1
— линейный оператор;

Страницы