Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 253 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 253
б) неизвестное x
1
найти по формулам Крамера и сравнить с полученным выше
решением.
1.7. Дана система линейных однородных уравнений
2x
1
− 8x
2
+ 3x
3
+ x
4
= 0,
x
1
− 5x
2
+ 2x
3
+ x
4
= 0,
x
1
− 3x
2
+ x
3
= 0,
2x
1
− 4x
2
+ x
3
− x
4
= 0.
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
1.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
3x
1
+ x
2
− x
3
− x
4
= 2,
9x
1
+ x
2
− 2x
3
− x
4
− 2x
5
= 5,
x
1
−x
2
− x
4
+ 2x
5
= 1,
x
1
+ x
2
− x
3
−3x
4
+ 4x
5
= 2.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
1.9. Показать, что решение однородной системы из примера 1.7 образует линейное
пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
1.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением ги-
перплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 1.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость прохо-
дит, а также направляющее подпространство плоскости.
1.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 1.1.
1.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора ~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи 1.11.
1.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
=
(3, 4, −3),
~
f
2
= (2, 3, −5),
~
f
3
= (1, 1, 1), ~x = (2, 1, 1).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
1.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (x
3
− x
2
, x
1
− x
3
, x
2
− x
1
),
b
G
2
~x = (x
1
− x
2
, x
3
, −x
1
).
а) Доказать, что
b
G
1
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор (
b
G
1
+
b
G
2
b
G
1
) действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 1.13.
1.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
4 −5
−2 7
, G
2
=
3 1 0
4 3 0
2 2 4
!
.
1.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 1.5.
Найти:

Страницы