Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 271 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 271
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
9.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
x
1
+ x
2
−x
3
− 2x
4
− 2x
5
= 2,
2x
1
+ 3x
2
− 2x
3
− 5x
4
− 4x
5
= 5,
x
1
− x
2
−x
3
− 2x
5
= 0.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
9.9. Показать, что решение однородной системы из примера 9.6 образует линейное
пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
9.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением ги-
перплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 9.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость прохо-
дит, а также направляющее подпространство плоскости.
9.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из 9.1.
9.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональну ю проекцию вектора ~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи 9.12.
9.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
=
(3, −1, 2),
~
f
2
= (1, 2, 4),
~
f
3
= (−3, 1, −1), ~x = (2, 4, 9).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
9.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (7x
2
+ 2x
3
, −7x
1
+ 5x
3
, −2x
1
− 5x
2
),
b
G
2
~x = (x
1
+ x
3
, −x
2
, x
3
).
а) Доказать, что
b
G
1
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор
b
G
2
b
G
1
действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 9.13.
9.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
2 1
8 4
, G
2
=
3 −4 4
1 −1 −8
0 0 −2
!
.
9.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 9.5.
Найти:
а) расстояние от этой плоскости до начала координат;
б) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и являющейся ортого-
нальным дополнением π
2
.

Страницы