Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 273 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 273
10.6. Дана система линейных уравнений
−x
1
+ 4x
2
+ 7x
3
= 1,
2x
2
+ 8x
3
= 6,
x
1
− 2x
2
− x
3
= 3.
а) Доказать, что система имеет единственное решение и найти его матричным
методом;
б) неизвестное x
2
найти по формулам Крамера и сравнить с полученным выше
решением.
10.7. Дана система линейных однородных уравнений
2x
1
+ x
3
+ 3x
4
− x
5
= 0,
x
1
+ x
2
− x
4
+ x
5
= 0,
−2x
2
+ x
3
+ 5x
4
− 3x
5
= 0,
x
1
− 3x
2
+ 2x
3
+ 9x
4
− 5x
5
= 0.
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
10.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 3x
4
+ 7x
5
= 30,
x
1
+ x
2
+ x
3
+ x
4
+ x
5
= 7,
5x
1
+ 3x
2
+ x
3
+ x
4
− 7x
5
= −11.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
10.9. Показать, что решение однородной системы из примера 10.7 образует линей-
ное пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
10.11. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением
гиперплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 10.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость проходит,
а также направляющее подпространство плоскости.
10.12. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 10.1.
10.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора
~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи
10.11.
10.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
= (2, 1, 0),
~
f
2
= (2, −1, 2),
~
f
3
= (2, 2, −1), ~x = (3, 7, −7).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
10.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (x
1
+ 2x
2
, x
3
, −x
2
),
b
G
2
~x = (x
1
+ 2x
2
− x
3
, 2x
1
+ 4x
2
− 2x
3
, −x
1
− 2x
2
+ x
3
).
а) Доказать, что
b
G
2
— линейный оператор;

Страницы