Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 275 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 275
а) поменять местами 3-ю и 4-ю, 1-ю и 2-ю строки;
б) ко 2-й строке прибавить 4-ю, умноженную на 5.
11.5. Дана система линейных уравнений
x
1
+ x
2
+ 3x
3
+ x
4
= 4,
3x
1
+ x
2
+ 2x
3
+ 3x
4
= 2,
3x
1
+ x
2
− x
3
= 2,
4x
1
+ 2x
2
− 5x
4
= 14.
а) Доказать, что система имеет единственное решение;
б) неизвестное x
2
найти по формулам Крамера;
в) остальные неизвестные найти методом Гаусса.
11.6. Дана система линейных уравнений
x
1
+ x
2
− x
3
= 2,
x
1
− x
2
+ x
3
= 0,
−x
1
+ x
2
+ x
3
= 2.
а) Доказать, что система имеет единственное решение и найти его матричным
методом;
б) неизвестное x
1
найти по формулам Крамера и сравнить с полученным выше
решением.
11.7. Дана система линейных однородных уравнений
x
1
+ 3x
2
+ 2x
3
+ 2x
4
+ 5x
5
= 0,
2x
1
+ 2x
2
+ 3x
3
+ 2x
4
+ 5x
5
= 0,
3x
1
+ x
2
+ x
3
+ 2x
4
+ 2x
5
= 0,
x
1
+ x
2
−x
3
+ x
4
= 0.
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
11.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
4x
1
− 10x
2
+ 5x
3
− 5x
4
+ 7x
5
= 1,
2x
1
− 2x
2
+ x
3
− x
4
+ x
5
= 1,
2x
1
− 14x
2
+ 7x
3
− 7x
4
+ 11x
5
= −1,
x
1
+ 2x
2
− x
3
+ x
4
− 2x
5
= 1.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
11.9. Показать, что решение однородной системы из примера 11.7 образует линей-
ное пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
11.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением
гиперплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 11.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость проходит,
а также направляющее подпространство плоскости.
11.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из 11.1.
11.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора
~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи
11.11.
11.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
= (2, −1, 2),
~
f
2
= (−6, 7, 7),
~
f
3
= (1, 1, −1), ~x = (4, 0, 1).

Страницы