Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 276 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

276 Индивидуальные задания
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
11.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (x
2
− 3x
3
, −x
1
+ 4x
3
, 3x
1
− 4x
2
),
b
G
2
~x = (2x
1
, −x
3
, x
2
).
а) Доказать, что
b
G
2
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор (
b
G
2
b
G
1
+
b
G
2
) действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 11.13.
11.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
5 2
4 3
, G
1
=
5 4 0
0 3 0
3 −7 4
!
.
11.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 11.5.
Найти:
а) расстояние от этой плоскости до начала координат;
б) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и являющейся ортого-
нальным дополнением π
2
.
11.17. В экспериментах по определению величин ~x
1
, ~x
2
и ~x
3
из результатов изме-
рений в силу их погрешности получена следующая несовместная система уравнений
x
1
+ x
2
− x
3
= 2,
x
1
− x
2
+ x
3
= 0,
x
1
− x
2
+ x
3
= 1.
Методом наименьших квадратов найти приближенные значения искомых величин и
надежность их измерений.
Вариант № 12
12.1. Дана матрица
A =
2 3 6 3
0 2 2 1
3 4 3 6
−1 2 3 1
.
а) Вычислить ее определитель det A, разложив его по элементам 2-ой строки;
б) вычислить det A, получив в каком-либо его ряду максимальное число нулей;
в) вычислить det(5A);
г) составить матрицу B, заменив 3-й столбец матрицы A линейной комбинацией 2-го
и 4-го столбцов с коэффициентами −2 и 2, соответственно;
д) вычислить det B и det(AB);
е) вычислить det A
−1
.

Страницы