Высшая математика для технических университетов. I. Линейная алгебра. Задорожный В.Н - 289 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Индивидуальные задания 289
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
17.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
x
1
+ x
2
− 6x
3
+ 3x
4
− 3x
5
= 4,
x
1
−3x
2
+ x
4
− 5x
5
= 6,
x
1
−x
2
+ 4x
3
+ 3x
4
− 5x
5
= 0.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
17.9. Показать, что решение однородной системы из примера 17.7 образует линей-
ное пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
17.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением
гиперплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 17.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость проходит,
а также направляющее подпространство плоскости.
17.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 17.1.
17.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора
~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи
17.11.
17.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
= (4, −5, −3),
~
f
2
= (1, −1, −1),
~
f
3
= (−1, 1, 2), ~x = (2, −1, −1).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
17.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (−x
2
− 7x
3
, x
1
+ 4x
3
, 7x
1
− 4x
2
),
b
G
2
~x = (16x
1
+ 28x
2
−4x
3
, 28x
1
+ 49x
2
− 7x
3
, −4x
1
−7x
2
+ x
3
).
а) Доказать, что
b
G
2
— линейный оператор;
б) найти матрицы операторов
b
G
1
и
b
G
2
в базисе {~e
i
};
в) указать закон, по которому оператор (
b
G
1
+
b
G
1
b
G
2
) действует на вектор ~x;
г) найти матрицу оператора
b
G
2
в базисе {
~
f
i
} из предыдущей задачи 17.13.
17.15. Найти собственные значения и собственные векторы матриц
G
1
=
6 −2
−5 3
, G
2
=
−1 2 1
0 5 0
3 2 1
!
.
17.16. Пусть плоскость π
2
задается первыми двумя уравнениями из задачи 17.5.
Найти:
а) расстояние от этой плоскости до начала координат;
б) уравнение плоскости, проходящей через начало координат и являющейся ортого-
нальным дополнением π
2
.

Страницы