ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Индивидуальные задания 291
18.6. Дана система линейных уравнений
3x
1
+ 2x
2
+ x
3
= 1,
2x
1
+ 5x
2
+ 3x
3
= 2,
3x
1
+ 4x
2
+ 2x
3
= 2.
а) Доказать, что система имеет единственное решение и найти его матричным
методом;
б) неизвестное x
2
найти по формулам Крамера и сравнить с полученным выше
решением.
18.7. Дана система линейных однородных уравнений
x
1
+ 3x
2
+ 3x
3
+ 4x
4
+ 6x
5
= 0,
x
1
− x
2
− 2x
3
− 3x
5
= 0,
x
1
+ 11x
2
+ 7x
3
+ 6x
4
+ 18x
5
= 0,
2x
1
+ 14x
2
+ 10x
3
+ 8x
4
+ 24x
5
= 0.
а) Доказать, что система имеет нетривиальные решения;
б) найти ее фундаментальную систему решений;
в) с помощью фундаментальной системы решений записать ее общее и какое-либо
частное решение.
18.8. Дана система линейных неоднородных уравнений
2x
1
− x
3
− 2x
4
− 3x
5
= −3,
x
1
− x
2
− x
4
− x
5
= 0,
3x
1
− x
2
− x
3
− 3x
4
−4x
5
= −3,
x
1
+ x
2
− x
3
− x
4
− 2x
5
= −3.
а) Доказать, что система совместна;
б) найти ее общее и какое-либо частное решение;
в) записать общее решение неоднородной системы через фундаментальную систему
решений соответствующей однородной системы.
18.9. Показать, что решение однородной системы из примера 18.7 образует линей-
ное пространство. Указать его размерность и базис, а также размерность и базис его
ортогонального дополнения L
⊥
.
18.10. Найти параметрические уравнения плоскости, являющейся пересечением
гиперплоскостей пространства A
5
, задаваемых неоднородной системой уравнений из
примера 18.8. Указать какую-либо точку из A
5
, через которую эта плоскость проходит,
а также направляющее подпространство плоскости.
18.11. Найти объем четырехмерного параллелепипеда, построенного на векторах
~x
1
, ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
, координаты которых заданы столбцами матрицы A из задачи 18.1.
18.12. Найти ортогональную составляющую и ортогональную проекцию вектора
~x
1
на пространство, являющееся линейной оболочкой векторов ~x
2
, ~x
3
, ~x
4
из задачи
18.11.
18.13. В базисе {~e
i
}: ~e
1
= (1, 0, 0), ~e
2
= (0, 1, 0), ~e
3
= (0, 0, 1) заданы векторы
~
f
1
= (1, 2, 3),
~
f
2
= (2, 3, 1),
~
f
3
= (1, 1, −3), ~x = (2, 4, 1).
а) Доказать, что совокупность векторов {
~
f
i
} образует базис;
б) записать матрицу перехода от базиса {~e
i
} к базису {
~
f
i
};
в) найти координаты вектора ~x в базисе {
~
f
i
};
г) записать формулы, связывающие координаты одного и того же вектора относи-
тельно базисов {~e
i
} и {
~
f
i
}.
18.14. Операторы
b
G
1
и
b
G
2
действуют в пространстве L
3
по законам
b
G
1
~x = (x
3
− x
2
, −2x
3
+ x
1
, 2x
2
− x
1
),
b
G
2
~x = (x
1
+ x
2
, x
2
+ x
3
, x
3
).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 289
- 290
- 291
- 292
- 293
- …
- следующая ›
- последняя »
