ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
10 Глава 1. Векторная алгебра
связанным вектором
−→
AB (стрелка
−→
AB на рис. 1).
Пусть X — некоторое множество.
Множество всех упорядоченных пар (x, y) — элементов множества X — на-
зывается декартовым произведением множеств X, или декартовым квадратом
множества X, и об означается:
X
2
= X × X = {(x, y)| x ∈ X; y ∈ X}.
Правило, по которому выделяется подмножество
Φ = {(x, y)|x, y ∈ X} (1.1)
декартова квадрата множества X (Φ ⊂ X ×X), называется бинарным отноше-
нием на множестве X.
Бинарное отношение на множестве X называется отношением эквива-
лентности, если оно является:
1. рефлексивным, т.е. x ∼ x для всех x ∈ X;
2. симметричным, т.е. если x ∼ y, то y ∼ x;
3. транзитивным, т.е. если x ∼ y и y ∼ z, то x ∼ z.
Пример 1.1. Показать, что отношение сонаправленности (⇈) двух связанных
векторов в пространстве R
3
является отношением эквивалентности, а отноше-
ние противоположнонаправленности (↑↓) таковым не является.
Решение. Пусть вектор ~a сонаправлен вектору
~
b, а вектор
~
b сонаправлен век-
тору ~c. Тогда очевидно, что
~a ⇈ ~a,
~
b ⇈ ~a, ~a ⇈ ~c.
Таким об ра зом, отношение ⇈ является отношением эквивалентности.
Поскольку из соотношений ~a ↑↓
~
b и
~
b ↑↓ ~c следует, что ~a ⇈ ~c, т о отношение
↑↓ нетранзитивно, а потому не является отношением эквивалентности.
Подмножество элементов множества X, эквивалентных данному, называ-
ется классом эквивалентности.
Класс эквивалентности по признаку конгруэнтности на множестве всех
связанных векторов называется свободным вектором.
♦ Если в этом определении вместо связанных векторов пространства вы-
брать множество связанных векторов, начало и конец которых лежат на одной
прямой, то прид¨ем к понятию скользящих векторов. Скользящие векторы на-
шли широкое применение в меха нике. Простейший пример скользящего вектора
— сила. Действительно, перенос этого вектора вдоль пря мой, на которой он ле-
жит, не меняет ни момент силы, ни равнодействующую всех сил, действующих
на тело, в то время как перенос силы на другую (даже параллельную) прямую
привед¨ет к изменению момента сил, действующих на тело.
Все векторы, как уже отмечалось, подразделяются на свободные, связанные
и скользящие. Поскольку свободным вектором можно считать любой вектор из
класса эквивалентности и, следовательно, положение точки A не имеет значе-
ния, то обозначение
−→
AB зачастую заменяют обозначением ~a.
Рис. 2.
♦ Если из контекста ясно, о каком виде векторов (связан-
ный, свободный, скользящий) ид¨ет речь, то для их об означе-
ния будем употреблять термин «вектор».
Углом между двумя векторами ϕ = ∠(~a
1
,~a
2
) (или
ϕ = (
[
~a
1
,~a
2
)) называется меньший (π > ϕ > 0) из двух углов
между лучами, исходящими из одной точки и направленных
одинаково с данными векторами (рис. 2). При ϕ = 0 и ϕ = π векторы являются
коллинеарными со- и противоположно направленными, соответств енно.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 8
- 9
- 10
- 11
- 12
- …
- следующая ›
- последняя »
