ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
12 Глава 1. Векторная алгебра
Пример 1.2. На языке векторного исчисления сформулировать известное из
элементарной геометрии утверждение о том, что длина отрезка прямой, соеди-
няющей две точки, не превосходит длины ломаной, соединяющей эти же точки.
Решение. Рассмотрим треугольник OAC на рис. 4, в котором точки O и C
соединяют пря молинейный отрезок OC и ломаная OAC, состоя щая из двух
отрезков: OA и AC. Если длины указанных отрезков обозначить как l
OC
, l
OA
и
l
AC
, то исходное утверждение можно записать в виде
l
OC
6 l
OA
+ l
AC
.
Приняв во внимание, что l
OC
= |~c| = |~a +
~
b|, l
OA
= |~a|, l
AC
= |
~
b|, имеем
|~a +
~
b| 6 |~a|+ |
~
b|. (1.2)
На языке векторного исчисления это означает, что модуль суммы двух векторов
не превосходит сумму модулей слагаемых.
Для суммы коллинеарных сонаправленных векторов из (1.2) получим ра-
венство
|~a +
~
b| = |~a|+ |
~
b|.
Для суммы коллинеарных противоположно направленных векторов, соответ-
ственно
|~a +
~
b| = ||~a| − |
~
b||.
Два коллинеарных противопо ложно направленных вектора ~a и
~
b называ-
ются противоположными, если модуль их суммы ра вен нулю:
|~a +
~
b| = 0.
Операция сложения векторов обладает следующими свойствами:
1) свойство коммутативности:
~a +
~
b =
~
b + ~a; (1.3)
1) свойство ассоциативности:
(~a +
~
b) + ~c = ~a + (
~
b + ~c) = ~a +
~
b + ~c. (1.4)
Доказательство этих соотношений очевидным образом вытекает из равенств
сторон соответствующих треугольников на рис. 7.
Рис. 7.
Применив в (1 .4) свойство коммутативности к слагаемым в скобках и вне
их, убеждаемся, что можно суммировать векторы в любом порядке. Попутно
мы получили правило раскрытия скобок при суммировании векторов.
Рассмотрим теперь операцию умножения скалярных и векторных величин.
Естественно считать, что умножение вектора ~a на целое положительное число
n сводится к последовательному сложению вектора ~a с самим собой n раз. В
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
