ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Скаляры и векторы 13
результате получается новый вектор ( обозначим его n~a), имеющий т о же на-
правление, что и вектор ~a, и в n раз больший модуль:
n~a = ~a + ~a + . . . + ~a
| {z }
n слагаемых
. (1.5)
Обобщение (1.5) приводит к следующему определению.
Произведением вектора ~a на скаляр α называется вектор
~
b, такой что
1) модуль вектора
~
b равен произведению модулей вектора |~a| и скаляра | α|;
2) направление вектора
~
b совпадает с направлением вектора ~a, если скаляр
положителен, и противоположно направлению вектора ~a, если скаляр отрица-
телен.
Произведение вектора ~a и скаляра α обозначается как
~
b = ~aα или
~
b = α~a.
♦ Нетрудно заметить, что |~aα| = |α~a| = |α||~a|. Произведение обращается в
нуль, если один из сомножителей равен нулю: α
~
0 =
~
0, 0~a =
~
0.
Операция умножения вектора на скаляр обладает следующими свойствами:
1) ассоциативности:
α(β~a) = (αβ)~a; (1.6)
2) дистрибутивности относительно суммы скаляров:
(α + β)~a = α~a + β~a; (1.7)
3) дистрибутивности относительно суммы векторов:
α(~a +
~
b) = α~a + α
~
b. (1.8)
Доказательство этих свойств достаточно о чевидно.
Действительно, справедливость (1.6) вытекает из того, что векторы α(β~a) и
(αβ)~a имеют равные модули:
|α(β~a)| = |α||β~a| = |α||β||~a|,
|(αβ)~a| = |αβ||~a| = |α||β||~a|
и одинаковые направления: они сонаправлены с ~a, если αβ > 0, и направлены
противоположно ~a в противном случае.
Справедливость соотношения (1.7) при α + β > 0 вытекает из того, что
векторы (α + β)~a и α~a + β~a имеют равные модули:
|(α + β)~a| = |α + β||~a| = (α + β)|~a| = α|~a| + β|~a|,
|α~a + β~a| = α|~a| + β|~a|,
и сонаправлены с ~a. Аналогично доказывается справедливость соотношения
(1.7) для α + β < 0.
Наконец, справедливость соотношения (1.8) в ытекает из подобия треуголь-
ников OAB и O
′
A
′
B
′
(рис. 8).
Рис. 8.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
