ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Скаляры и векторы 15
♦ Очевидно, что сам орт можно найти по формуле
~a
0
= α~a, α =
1
|~a|
. (1.15)
Операцию (1.15) зачастую называют нормировкой вектора ~a.
Операции сложения и умножения на число, удовлетворяющие свойствам
(1.3)–(1.8), для объектов любой природы принято называть линейными. Это
остается справедливым и для векторных величин, поэтому вектор
α~a + β
~
b + γ~c, (1.16)
получаемый в результате этих операций, называется их линейной комбинацией.
Подводя итог вышесказанному, можно утверждать, что линейные операции
над геометрическим векторами обладают в совокупности следующими свой-
ствами:
1) коммутативность сложения: ~a +
~
b =
~
b + ~a;
2) ассоциативность сложения: (~a +
~
b) + ~c = ~a + (
~
b + ~c);
3) существует нулевой вектор
~
0 такой, что ~a +
~
0 = ~a для любого ~a;
4) для каждого вектора ~a существует противоположный вектор −~a такой, что
~a + (−~a) = 0;
5) (α + β)~a = α~a + β~a для любых чисел α и β и любого вектора ~a;
6) α(β~a) = (αβ)~a для любых чисел α и β и любого вектора ~a;
7) α(~a +
~
b) = α~a + α
~
b для любого числа α и любых векторов ~a,
~
b;
8) 1 ·~a = ~a для любого вектора ~a.
В линейной алгебре множество L, состоящее из элементов любой природы (на-
зываемых векторами), в котором определены операции сложения элементов и
умножения элементов на числа, удовлетворяющие условиям 1–8, называется
линейным (векторным) пространством.
Согласно этому определению, множество геометрических векторов является
линейным (векторным) пространством ( см., например, [8]).
Пример 1.5. Дан правильный шестиугольник ABCDEF , прич¨ем
−→
AB = ~a,
−−→
BC =
~
b. Выразить через ~a и
~
b векторы
−−→
CD,
−−→
DE,
−→
EF ,
−→
F A,
−→
AC,
−−→
AD и
−→
AE.
Рис. 10.
Решение. Пусть точка O — центр правильного шести-
угольника (рис. 10). Согласно условиям задачи,
−→
AB = ~a и
−−→
BC =
~
b. Тогда в силу свойств правильного шестиуголь-
ника, составленного из шести правильных треугольни-
ков, имеем
−→
AC =
−→
AB +
−−→
BC = ~a +
~
b,
−−→
BO =
−→
AO −
−→
AB =
−−→
BC −
−→
AB =
~
b −~a.
Отсюда
−−→
CD =
−−→
BO =
~
b −~a.
Далее
−−→
DE = −
−→
AB = −~a;
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 13
- 14
- 15
- 16
- 17
- …
- следующая ›
- последняя »
