Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

16 Глава 1. Векторная алгебра
−→
EF = −
−−→
BC = −
~
b;
−→
F A = −
−−→
CD = −(
~
b −~a) = ~a −
~
b;
−−→
AD =
−→
AO +
−−→
OD = 2
−−→
BC = 2
~
b;
−→
AE =
−→
AO +
−−→
OE =
−−→
BC +
−−→
BO =
~
b + (
~
b −~a) = 2
~
b −~a.
Пример 1.6. Дан треугольник ABC с медианами
−−→
AD,
−−→
BE и
−→
CF . Доказать
равенство
−−→
AD +
−−→
BE +
−→
CF = 0.
Рис. 11.
Решение. На сторонах AB, BC, CA треугольника и его
медианах AD, BE, CF (рис. 11) построим векторы
−→
AB,
−−→
BC,
−→
CA и
−−→
AD,
−−→
BE,
−→
CF , обозначив для удобства
−→
AB = ~a,
−−→
BC =
~
b,
−→
CA = ~c. (1.17)
Напомним, что, согласно правилу многоугольника, сумма
векторов, образующих замкнутый многоугольник, равна
нулю. Тогда сумма векторов
−→
AB,
−−→
BC,
−→
CA, представляющих стороны треуголь-
ника, равна нулю, т.е.
−→
AB +
−−→
BC +
−→
CA = ~a +
~
b + ~c = 0. (1.18)
Аналогично для треугольников ADC, BEA и CF B имеем
−−→
AD +
−−→
DC +
−→
CA = 0,
−−→
BE +
−→
EA +
−→
AB = 0, (1.19)
−→
CF +
−−→
F B +
−−→
BC = 0.
Приняв во внимание, что
−−→
DC =
1
2
−−→
BC,
−→
EA =
1
2
−→
CA,
−−→
F B =
1
2
−→
AB,
с уч¨етом (1.17) равенство (1.19) можно записать в виде
−−→
AD +
1
2
~
b + ~c = 0,
−−→
BE +
1
2
~c + ~a = 0,
−→
CF +
1
2
~a +
~
b = 0.
Отсюда находим выражения для векторов-медиан через векторы ~a,
~
b, ~c:
−−→
AD = −
~c +
1
2
~
b
,
−−→
BE = −
~a +
1
2
~c
, (1.20)
−→
CF = −
~
b +
1
2
~a
.
Просуммировав уравнения (1.20), согласно (1.18) получим
−−→
AD +
−−→
BE +
−→
CF = −
3
2
(~a +
~
b + ~c) = 0. (1.21)

Страницы