ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
18 Глава 1. Векторная алгебра
Пример 1.8. В пространстве заданы два произвольных треугольника ABC и
A
1
B
1
C
1
. Точки M и M
1
— точки пересечения их медиан. Доказать равенство
−−→
MM
1
=
1
3
(
−→
AA
1
+
−−→
BB
1
+
−→
CC
1
). (1.28)
Решение. Для заданных треугольников построим векторы
−→
AA
1
,
−−→
BB
1
,
−→
CC
1
,
−−→
MM
1
, соединяющие их вершины и точки пересечения их медиан (рис. 13 ) .
Рис. 13.
Далее выберем в пространстве произвольную точку O и построим две четв¨ерки
вспомогательных векторов:
−→
AO,
−−→
BO,
−→
CO,
−−→
MO и
−→
OA
1
,
−−→
OB
1
,
−→
OC
1
,
−−→
OM
1
. Согласно
результатам предыдущей задачи, для первой четв¨ерки векторов имеем рав ен-
ство
−−→
MO =
1
3
(
−→
AO +
−−→
BO +
−→
CO) (1.29)
и, соответственно, для второй четв¨ерки
−−→
OM
1
=
1
3
(
−→
OA
1
+
−−→
OB
1
+
−→
OC
1
). (1.30)
Просуммировав (1.29) и (1.30), получим еще одно векторное равенство
−−→
MO +
−−→
OM
1
=
1
3
[(
−→
AO +
−→
OA
1
) + (
−−→
BO +
−−→
OB
1
) + (
−→
CO +
−→
OC
1
)]. (1.31)
Приняв во внимание, что
−−→
MO+
−−→
OM
1
=
−−→
MM
1
,
−→
AO+
−→
OA
1
=
−→
AA
1
,
−−→
BO+
−−→
OB
1
=
−−→
BB
1
,
−→
CO+
−→
OC
1
=
−→
CC
1
,
из (1.31) получим требуемое рав енство (1.28):
−−→
MM
1
=
1
3
(
−→
AA
1
+
−−→
BB
1
+
−→
CC
1
).
Пример 1.9. Точки E и F — середины сторон AD и BC произвольного четы-
рехугольника ABCD. Доказать, что
−→
EF =
1
2
(
−→
AB +
−−→
DC).
Вывести отсюда т еорему о средней линии трапеции.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
