ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Скаляры и векторы 19
Решение. Для заданного четырехугольника построим векторы
−→
AB,
−−→
DC и
−→
EF
(рис. 14,a) и вспомогательные векторы
−−→
ED,
−→
EA;
−→
CF ,
−−→
BF , которые, согласно
условию задачи, свя заны ра венствами
−−→
ED = −
−→
EA,
−→
CF = −
−−→
BF . (1.32)
Теперь для вектора
−→
EF , согласно правилу многоугольника, можно записать два
равенства
−→
EF =
−−→
ED +
−−→
DC +
−→
CF ,
−→
EF =
−→
EA +
−→
AB +
−−→
BF ,
просуммировав которые, получим
2
−→
EF = (
−−→
ED +
−→
EA) + (
−→
AB +
−−→
DC) + (
−→
CF +
−−→
BF ).
Отсюда с уч¨етом (1.32) получим
2
−→
EF =
−→
AB +
−−→
DC
и, соо тветственно,
−→
EF =
1
2
(
−→
AB +
−−→
DC), (1.33)
что и требовалось доказать.
Рис. 14.
Перейд¨ем теперь ко второй части задачи. Если четырехугольник ABCD
является трапецией, то векторы
−→
AB,
−−→
DC и
−→
EF коллинеарны (рис. 14,б). Для
коллинеарных векторов из векторного равенства (1.33) следует скалярное ра-
венство для модулей
|
−→
EF | =
1
2
(|
−→
AB| + |
−−→
DC|),
эквивалентное теореме о средней линии трапеции.
1.3. Линейные зависимости между векторами
Выше выражением (1.16) мы ввели понятие линейной комбинации векторов.
Оказывается, это понятие является основным для формулировки их линейной
зависимости, которая, в свою очередь, является ва жной алгебраической харак-
теристикой взаимного расположения векторов, входящих в линейную комбина-
цию.
Система векторов ~a
1
,~a
2
, . . . ,~a
n
называется линейно зависимой, если их
линейная комбинация обращается в нуль:
α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ . . . + α
n
~a
n
= 0, (1.34)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 17
- 18
- 19
- 20
- 21
- …
- следующая ›
- последняя »
