ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Скаляры и векторы 21
Это означает, что вектор ~a
2
, являясь произведением вектора ~a
1
на скаляр −α
1
/α
2
,
коллинеарен вектору ~a
1
. Таким образом, два линейно зависимых вектора всегда
коллинеарны, т.е. теорема доказана.
Следствие 1.1.1. Система из двух компланарных, но не коллинеарных векто-
ров является линейно независимой.
Действительно, линейная комбинация α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
может обращаться в нуль
только при условии α
1
= α
2
= 0, что и означает линейную независимость век-
торов.
Теорема 1.2. Система трех векторов ~a
1
,~a
2
,~a
3
линейно зави си ма тогда и
только тогда, когда эти векторы компланарны.
Доказательство. Пусть ~a
1
, ~a
2
и ~a
3
— три компланарных
Рис. 15.
вектора, имеющих общее начало O, и векторы ~a
1
и ~a
2
некол-
линеарны (рис. 15) . Через точку A
3
— конец третьего век-
тора ~a
3
— провед¨ем прямую, параллельную вектору ~a
2
, до
пересечения в точке A
1
с прямой, на которой лежит вектор
~a
1
. Тогда
~a
3
=
−→
OA
1
+
−−→
A
1
A
3
. (1.40)
Приняв во внимание, что векторы
−→
OA
1
и
−−→
A
1
A
3
коллинеарны векторам ~a
1
и ~a
2
соответственно, т.е.
−→
OA
1
= α
1
~a
1
,
−−→
A
1
A
3
= α
2
~a
2
,
из (1.40) получим соотношение линейной зависимости:
~a
3
= α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
(1.41)
или
α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ (−1)~a
3
= 0. (1.41
′
)
Три коллинеарных вектора также являются линейно зависимыми, тогда, не
уменьшая общности, можно считать, что
α
1
~a
1
+ 0 ·~a
2
+ (−1)~a
3
= 0.
Таким образом, т ри компланарных вектора всегда линейно зависимы.
Докажем обратное утверждение. Пусть теперь три вектора ~a
1
,~a
2
,~a
3
линейно
зависимы:
α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ α
3
~a
3
= 0, (1.42)
прич¨ем хотя б ы один скаляр, например α
3
, отличен от нуля. Тогда мы можем
записать соотношение
~a
3
= −
α
1
α
3
~a
1
−
α
2
α
3
~a
2
, (1.43)
из которого следует, что векторы ~a
3
, −(α
1
/α
3
)~a
1
и −(α
2
/α
3
)~a
2
образуют три
стороны одного треугольника и, следовательно, лежат в одной плоскости.
Таким образом, т ри линейно зависимых вектора всегда компланарны.
Следствие 1.2.1. Система из трех пространственных, т.е. некомпланарных,
векторов является линейно независимой.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 19
- 20
- 21
- 22
- 23
- …
- следующая ›
- последняя »
