ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
22 Глава 1. Векторная алгебра
Действительно, в этом случае линейная комбинация трех векторов α
1
~a
1
+α
2
~a
2
+
α
3
~a
3
может обращаться в нуль только при условии α
1
= α
2
= α
3
= 0, что и
означает линейную независимость векторов.
Подводя итог, мы можем сказать, что установлена следующая закономер-
ность.
Если задан один вектор ~a
1
, то любой вектор ~a, коллинеарный ему, может
быть единственным образом представлен линейной комбинацией
~a = α
1
~a
1
. (1.44)
Если заданы два неколлинеарных вектора ~a
1
и ~a
2
, то они всегда компланар-
ны и любой вектор ~a, компланарный им, может б ыть единственным образом
представлен линейной комбинацией
~a = α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
. (1.45)
В общем случае справедлива следующая теорема.
Теорема 1.3. Каждый геометрический вектор ~a единственным образом пред-
ставляется линейной комбинацией трех некомпланарных векторов
~a = α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ α
3
~a
3
. (1.46)
Доказательство. Пусть ~a
1
,~a
2
,~a
3
— система трех некомпла-
Рис. 16.
нарных векторов и ~a — произвольный вектор. Поместим нача-
ла всех четырех векторов в точку O (рис. 16) . Ч ерез точку A
— конец вектора ~a — провед¨ем прямую, параллельную векто-
ру ~a
3
, до пересечения в точке A
0
с плоскостью векторов ~a
1
и
~a
2
. Полученный в результате вектор
−→
OA
0
как компланарный
векторам ~a
1
и ~a
2
можно представить линейной комбинацией
−→
OA
0
= α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
. (1.47)
В свою очередь, вектор
−−→
A
0
A как вектор, компланарный ~a
3
, можно записать
−−→
A
0
A = α
3
~a
3
. (1.48)
Теперь, приняв во внимание, что
~a =
−→
OA
0
+
−−→
A
0
A,
с уч¨етом (1.47) и (1.48) найд¨ем выражение, совпадающее с (1.46):
~a = α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ α
3
~a
3
.
Покажем теперь, что коэффициенты α
1
, α
2
, α
3
определяются однозначно.
Предположим противное, т.е. справедливо соотношение
~a = β
1
~a
1
+ β
2
~a
2
+ β
3
~a
3
, (1.49)
где β
i
отличаются от α
i
. Тогда, вычтя (1.46) из (1.49 ), получим
0 = (α
1
−β
1
)~a
1
+ (α
2
− β
2
)~a
2
+ (α
3
−β
3
)~a
3
. (1.50)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
