ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
1. Скаляры и векторы 23
Так как векторы ~a
1
,~a
2
,~a
3
не компланарны и, следовательно, линейно незави-
симы, то все коэффициенты в (1.50) должны быть ра вны нулю, т.е. α
1
= β
1
,
α
2
= β
2
, α
3
= β
3
, откуда и следует совпадение (1.49) с (1.46) и, следовательно,
единственность коэффициентов α
1
, α
2
, α
3
.
Формулу (1.46):
~a = α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ α
3
~a
3
зачастую называют разложением вектора ~a по системе трех некомпланарных
и, следовательно линейно независимых векторов ~a
1
,~a
2
,~a
3
.
♦ Переписав формулу (1.46 ) в виде
α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ α
3
~a
3
+ (−1)~a = 0,
мы можем утверждать, что любые четыре вектора в пространстве линейно за-
висимы. Ключевым в этом утверждении является слово «пространство». Под
пространством здесь понимается трехмерное пространство, соответствующее
нашим понятиям: длина ширина, высота.
Абстрагируясь от этого пространства и рассуждая формально, мы, вооб-
ще говоря, можем рассмотреть четырехмерную четв¨ерку линейно независимых
векторов ~a
1
,~a
2
,~a
3
,~a
4
, и тогда любой пятый вектор из это го пространства будет
их линейной комбинацией:
~a = α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ α
3
~a
3
+ α
4
~a
4
.
Дальнейшее обобщение этого процесса является предметом изучения уже не
векторной алгебры, а линейной (см., например, [8]).
Пример 1.10. Доказать, что для любых заданных векторов ~a,
~
b и ~c векторы
~a +
~
b,
~
b + ~c и ~c −~a компланарны.
Решение. 1-й способ. В данном конкретном случае легко увидеть, что из трой-
ки векторов ~a +
~
b,
~
b + ~c и ~c −~a сумма первого и третьего дает второй:
(~a +
~
b) + (~c −~a) = (
~
b + ~c).
Это означает, что эта тройка векторов представляет треугольник ABC и, сле-
довательно, векторы компланарны.
2-й способ. Если векторы ~a,
~
b и ~c компланарны, то векторы ~a +
~
b,
~
b + ~c и
~c −~a, являясь их линейными комбинациями, также компланарны. Рассмотрим
теперь случай, когда ~a,
~
b,~c некомпланарны. Для тройки векторов ~a +
~
b,
~
b + ~c и
~c −~a составим их линейную комбинацию и приравняем ее к нулю:
α(~a +
~
b) + β(
~
b + ~c) + γ(~c −~a) = 0. (1.51)
Если, согласно определению, существуют отличные от нуля коэффициенты α, β,
γ, которые обращ ают линейную комбинацию в нуль, то эта т ро йка векторов
является линейно зависимой и, следовательно, компланарной.
Чтобы найти α, β, γ, преобразуем (1.51) к виду
(α − γ)~a + (α + β)
~
b + (β + γ)~c = 0
и потребуем, в силу некомпланарности векторов ~a,
~
b,~c, выполнения условий
α − γ = 0,
α + β = 0,
β + γ = 0.
(1.52)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 21
- 22
- 23
- 24
- 25
- …
- следующая ›
- последняя »
