ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
20 Глава 1. Векторная алгебра
при условии, что не все скалярные коэффициенты равны нулю, т.е. α
2
1
+. . .+α
2
n
6=
0 (другими словами, если хотя бы один из них отличен от нуля). В противном
случае система векторов называется лин ей но зависимой.
♦ Заметим, что если хотя бы один скаляр α
i
отличен от нуля, то пропор-
циональный ему вектор можно выразить через другие векторы системы, что
и определяет его зависимость от них. Если же все скаляры α
i
равны нулю
(α
i
= 0 для всех i = 1, n или α
2
1
+ α
2
2
+ . . . + α
2
n
= 0), то равенство (1.34) будет
по-прежнему выполняться, но оно не позволит выразить какой-либо вектор си-
стемы через другие, что и составляет смысл линейной независимости векторов,
входящих в линейную комбинацию.
Из определения линейной зависимости векторов вытекает несколько неожи-
данное, но легко объяснимое заключение: любая система векторов, содержащая
нулевой вектор, является линейно зависимой. Действительно, для системы век-
торов
~
0,~a
1
, . . . ,~a
n
всегда существует отличный от нуля скалярный коэффициент
α
0
, при котором их линейная комбинация обращается в нуль:
α
0
~
0 + α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
+ . . . + α
n
~a
n
= 0. (1.35)
Перейд¨ем теперь к геометрическим критериям линейной зависимости систе-
мы векторов, используя введ¨енную выше их геометрическую классификацию.
Действительно, из всего множества пространственных векторов мы в ыделили
множество (точнее, подмножество) компланарных векторов. В свою очередь,
из множества компланарных векторов было выделено множество коллинеар-
ных векторов. С них мы и начн¨ем.
Теорема 1.1. Для линейн ой зависимости двух векторов ~a
1
и ~a
2
необходимо
и достаточно, чтобы эти векторы были коллинеарными.
Доказательство. Пусть ~a
1
и ~a
2
— два коллинеарных вектора, один из кото-
рых, например ~a
1
, отличен от нуля. Тогда второй вектор ~a
2
получится из него
умножением на некоторый скаляр:
~a
2
= α~a
2
, (1.36)
который равен
α =
|~a
2
|
|~a
1
|
, если ~a
1
и ~a
2
направлены одинаково;
−
|~a
2
|
|~a
1
|
, если ~a
1
и ~a
2
направлены противоположно.
Следовательно, ~a
1
и ~a
2
связаны линейной зависимостью:
1 ·~a
2
− α~a
1
= 0. (1.37)
Соотношение (1.37) оста¨ется справедливым, если один из векторов будет нуле-
вым (например, ~a
1
= 0).
Таким об ра зом, два коллинеарных в ектора всегда линейно зависимы.
Докажем обратно е утверждение. П усть теперь два вектора ~a
1
и ~a
2
линейно
зависимосты:
α
1
~a
1
+ α
2
~a
2
= 0, (1.38)
прич¨ем хотя бы один из скалярных коэффициентов, например α
2
, не равен
нулю. Тогда мы получим
~a
2
= −
α
1
α
2
~a
1
. (1.39)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 18
- 19
- 20
- 21
- 22
- …
- следующая ›
- последняя »
