Высшая математика для технических университетов. Часть II. Аналитическая геометрия. Задорожный В.Н - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1. Скаляры и векторы 17
♦ Выражения (1.20) можно было заменить равносильными:
−−→
AD =
1
2
(~a −~c),
−−→
BE =
1
2
(
~
b −~a),
−→
CF =
1
2
(~c −~a),
суммирование которых сразу дает требуемое равенство
−−→
AD +
−−→
BE +
−→
CF =
1
2
(~a −~c +
~
b −~a + ~c −
~
b) = 0.
Пример 1.7. Дан треугольник ABC, в котором точка M — точка пересечения
медиан, а O — произвольная точка пространства. Доказать равенство
−−→
OM =
1
3
(
−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC). (1.22)
Решение. На сторонах треугольника и его медианах по-
Рис. 12.
строим векторы
−→
AB,
−−→
BC,
−→
CA и
−−→
AD,
−−→
BE,
−→
CF (рис. 12). Из
произвольной точки O пространства в вершины треуголь-
ника и точку M пересечения медиан провед¨ем векторы
−→
OA,
−−→
OB,
−→
OC и
−−→
OM. Поскольку точка пересечения медиан
отсекает от них отрезки AM, BM, CM, длины которых
составляют 2/3 длин медиан, это позволяет записать век-
торные равенства
−−→
AM =
2
3
−−→
AD,
−−→
BM =
2
3
−−→
BE,
−−→
CM =
2
3
−→
CF . (1.23)
Из трех треугольников MOA, MOB, MOC для вектора
−−→
OM имеем три равен-
ства
−−→
OM =
−→
OA +
−−→
AM;
−−→
OM =
−−→
OB +
−−→
BM;
−−→
OM =
−→
OC +
−−→
CM,
которые с уч¨етом (1.23) можно записать как
−−→
OM =
−→
OA +
2
3
−−→
AD; (1.24)
−−→
OM =
−−→
OB +
2
3
−−→
BE; (1.25)
−−→
OM =
−→
OC +
2
3
−→
CF . (1.26)
Просуммировав равенства (1.23), получим еще одно равенство
3
−−→
OM =
−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC +
2
3
(
−−→
AD +
−−→
BE +
−→
CF ). (1.27)
В предыдущей задаче было показано, что сумма векторов – медиан треуголь-
ника равна нулю, т.е.
−−→
AD +
−−→
BE +
−→
CF = 0.
Тогда из (1.27) получим
3
−−→
OM =
−→
OA +
−−→
OB +
−→
OC,
откуда и следует искомое равенство (1.22).

Страницы