ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
218 Глава 3. Кривые линии на плоскости
Матрицы (25.18) и (25 .19) определяют координаты нов ого базиса:
~e
′
1
=
1
√
2
(~e
1
+ ~e
2
),
~e
′
2
=
1
√
2
(−~e
1
+ ~e
2
),
(25.20)
и связь между старыми и новыми координатами, согласно (24.9):
x
y
= x
′
E
′
1
+ y
′
E
′
2
= x
′
1
√
2
1
1
+ y
′
1
√
2
−1
1
=
1
√
2
1 −1
1 1
x
′
y
′
(25.21)
или
x =
1
√
2
(x
′
−y
′
),
y =
1
√
2
(x
′
+ y
′
).
(25.22)
Подставив (25.22) в исходное уравнение, запишем
3
2
(x
′
−y
′
)
2
−
2
2
(x
′
−y
′
)(x
′
+ y
′
) +
3
2
(x
′
+ y
′
)
2
+
2
√
2
(x
′
−y
′
) −
4
√
2
(x
′
+ y
′
) + 1 = 0,
откуда
2(x
′
)
2
+ 4(y
′
)
2
−
2
√
2
x
′
−
6
√
2
y
′
+ 1 = 0.
Выделив полный квадрат, привед¨ем это уравнение к в иду
2
x
′
−
1
2
√
2
2
+ 4
y
′
−
3
4
√
2
2
−
3
8
= 0.
Параллельным переносом
x
′′
= x
′
−x
′
0
= x
′
−
1
2
√
2
,
y
′′
= y
′
− y
′
0
= y
′
−
3
4
√
2
(25.23)
приходим к каноническо й системе координат x
′′
O
′
y
′′
с началом в точке
O
′
(1/2
√
2, 3/4
√
2), в которой кривая запишется в канонической форме
(x
′′
)
2
3/16
+
(y
′′
)
2
3/32
= 1,
определяющей эллипс, изображенный на рис. 141,б. Из сравнения рис. 1 41,а и
141,б видно, что положение начала канонической системы координат в первом
решении зада¨ется в старой системе координат xOy как x
0
= −1/8, y
0
= 5/8, а во
втором — в системе координат x
′
Oy
′
как x
′
0
= 1 /2
√
2, y
′
0
= 3 /4
√
2. Координаты
x
0
, y
0
и x
′
0
, y
′
0
связаны общим соотношением (25.21) (или (25.2 2)):
−
1
8
=
1
√
2
1
2
√
2
−
3
4
√
2
,
5
8
=
1
√
2
1
2
√
2
+
3
4
√
2
.
(25.24)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 216
- 217
- 218
- 219
- 220
- …
- следующая ›
- последняя »
