ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
220 Глава 3. Кривые линии на плоскости
из которого следует, что уравнение определяет единственную точку, совпада -
ющую с началом кано ническо й системы координат. Эта точка находится из
системы уравнений (25.3), которая в данном случае имеет вид
3x
0
− y
0
+ 1 = 0,
−x
0
+ 3y
0
− 2 = 0
и совпадает с аналогичной системой уравнений для кривой № 1, т.е. с (25.12).
Решение этой системы определяет точку O
′
(x
0
, y
0
), x
0
= −1/8, y
0
= 5/8, которая
является началом канонической системы координат (см. рис. 141,a), при этом
находить эту систему координат вовсе не о бязательно.
Иначе обстоит дело, если задачу решать другим способом. В этом случае
конечный результат не очевиден, и следует найти каноническую систему коор-
динат. Для этого нужно решить задачу на собственные значения и собственные
векторы мат рицы квадратичной формы G, а затем на основании нового базиса
~e
′
1
, ~e
′
2
перейти в новую систему координат x
′
Oy
′
. Далее, выполнив параллель-
ный перенос с помощ ью выделения полного квадрата, мы получим канониче-
скую форму исходного уравнения и только тогда сможем убедиться в том, что
уравнение определяет единственную точку и найти ее координаты.
Реализуем эту схему для заданного уравнения. Решаем задачу на собствен-
ные значения и собственные векторы
GE
′
= λE
′
или
3 −λ −1
−1 3 − λ
m
n
=
0
0
. (25.28)
Поскольку матрица квадратичной формы G совпадают с матрицей квадратич-
ной формы уже рассмотренной кривой № 1, то и задача (25.28) совпадает с уже
решенной задачей (25.16). Это позволяет нам воспользоват ься соотношением
(25.22) (в прот ив ном случае нам пришлось бы задачу (25.28) решать занов о).
Подставив (25.22) в исходное уравнение, запишем
2(x
′
)
2
+ 4(y
′
)
2
−
2
√
2
x
′
−
6
√
2
y
′
+
11
8
= 0.
Выделив в этом уравнении полный квадрат, привед¨ем его к виду
2
x
′
−
1
2
√
2
2
+ 4
y
′
−
3
4
√
2
2
= 0,
говорящ ему о том, что оно определяет определяет единственную точку O
′
(x
′
0
, y
′
0
),
x
′
0
= 1/2
√
2, y
′
0
= 3/4
√
2 в системе координат x
′
Oy
′
(рис. 141 ,б). Из сравнения
рис. 141,а и 141,б видно, что положение точки в первом решении задается в
старой системе координат xOy как x
0
= −1/8, y
0
= 5/8, а во втором — в си-
стеме координат x
′
Oy
′
как x
′
0
= 1/2
√
2, y
′
0
= 3/4
√
2. Коо рдинаты x
0
, y
0
и x
′
0
, y
′
0
связаны общим соотношением (25.21).
Пример 25.2. В заданной системе координат построить кривые второго по-
рядка из примера 24.2.
Решение.
1. В декартовой системе координат уравнение кривой имеет вид
5x
2
+ 12xy − 22x − 12y − 19 = 0.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 218
- 219
- 220
- 221
- 222
- …
- следующая ›
- последняя »
