ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
25. Каноническая система координат 219
2. В декартовой системе координат уравнение имеет вид
3x
2
− 2xy + 3y
2
+ 3x −4y = 2 = 0.
Этот случай наглядно иллюстрирует преимущество решения с помощью ин-
вариантов. Действительно, как показано в примере 24.1, простое вычисление
инвариантов говорит о том, что кривая является мнимым эллипсом:
2(x
′′
)
2
+ 4(y
′′
)
2
+
5
8
= 0, (25.25)
т.е. уравнение (25.25) не описывает ни одну точку вещественной плоскости. Это
означа ет, что находить каноническую систему координат в данном случае про-
сто не имеет смысла.
Иначе обстоит дело, если задачу решать другим способом. В это м случае
ко нечный результа т не очевиден, и следует найти каноническую систему коор-
динат. Для этого нужно решить задачу на собственные значения и собственные
векторы матрицы квадратичной формы G, а затем на основании нового базиса
~e
′
1
, ~e
′
2
перейти в новую систему координат x
′
Oy
′
. Далее, выполнив параллель-
ный перенос с помощью выделения полного квадрата, мы получим канониче-
скую форму исходного уравнения и только теперь сможем убедиться в том, что
оно не определяет ни одну точку вещественной плоскости. Реализуем эту схему
для заданного уравнения.
Итак, реша ем задачу
GE
′
= λE
′
или
3 −λ −1
−1 3 − λ
m
n
= 0. (25.26)
Поскольку матрицы квадратичной формы для данной кривой и уже рассмот-
ренной кривой № 1 совпадают, то и задача (25.26) совпадает с уже решенной
задачей (25.16). Это позволяет нам воспользоваться соотношением (25 .22) (в
противном случае нам пришлось бы решать задачу (25.26) целиком и заново).
Подставив (25.22) в исходное уравнение, запишем
2(x
′
)
2
+ 4(y
′
)
2
−
2
√
2
x
′
−
6
√
2
y
′
+ 2 = 0.
Выделив в этом уравнении полный квадрат, привед¨ем его к виду
2
x
′
−
1
2
√
2
2
+ 4
y
′
−
3
4
√
2
2
+
5
8
= 0,
совпадающему с (25.25) и говорящему о том, что кривую, соответствующую рас-
сматриваемому уравнению, построить нельзя, поскольку оно не определяет ни
одну кривую. Очевидно, что недостатком такого алгоритма является необходи-
мость построения канонической системы координат, что не всегда обязательно
для решения задачи.
3. В декартовой системе координат уравнение имеет вид
3x
2
−2xy + 3y
2
+ 2x −4y +
11
8
= 0.
Простое вычисление инвариантов этой кривой, как показано в примере 24.1,
приводит исходное уравнение к каноническому виду:
2(x
′′
)
2
+ 4(y
′′
)
2
= 0, (25.27)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 217
- 218
- 219
- 220
- 221
- …
- следующая ›
- последняя »
